Semikontinuální funkce

Polospojitost v počtu je slabší vlastností funkce než spojitost. Funkce je v bodě nižší polospojitá, pokud hodnota funkce v blízkých bodech není o mnoho menší než hodnota funkce v něm. Funkce je horní polospojitá v bodě, pokud hodnoty funkce v blízkých bodech výrazně nepřekračují hodnoty funkce v něm.

Definice

Nechť je dán úplný metrický prostor . Reálná funkce se nazývá dolní (horní) polospojitá v bodě , pokud $(X,\varrho).$ $f:X \to \mathbb{R}$ $x_{0}\v X$

\varliminf _{{x\to x_{0}}}f(x)\geq f(x_{0})\;\left(\varlimsup _{{x\to x_{0}}}f(x) \leq f(x_{0})\vpravo).

O funkci se říká, že je dolní (horní) polospojitá, pokud je dolní (horní) polospojitá pro všechny . $F$ $M\podmnožina X$ $x_{0}\v M$

Vlastnosti

Funkce je nižší polospojitá právě tehdy, když je množina otevřena ve standardní topologii reálné čáry pro libovolný $f:X\to \mathbb{R}$ $\{x\in X\mid f(x)>a\}$ $a\in \mathbb{R} .$
Dovolit jsou dvě nižší (horní) polospojité funkce. Pak je jejich součet také spodní (horní) polospojitý. $f,g:X\to \mathbb{R}$ $f+g$
Limita monotónně rostoucí (klesající) posloupnosti dolních (horních) polospojitých funkcí v bodě je dolní (horní) polospojitá funkce v . Přesněji, nechť je dána posloupnost dolních (horních) polospojitých funkcí taková, že Pak, pokud limita existuje, je dolní (horní) polospojitá. $x_{0}$ $x_{0}$ $f_{n}:X\to {\mathbb {R)],\;n\v {\mathbb {N))$ $f_{{n+1}}(x)\geq (\leq )f_{n}(x)\;\forall n\in {\mathbb {N}}\;\forall x\in X.$ $\lim \limits _{{n\to \infty }}f_{n}(x)=f(x)\;\forall x\in X,$ $F$
Jestliže a existují semi-spojité funkce, v uvedeném pořadí, zdola a shora, v tomto pořadí, a celý prostor je splněn, pak existuje spojitá funkce , takže $u:X\to {\mathbb {R}}$ $v:X\to {\mathbb {R}}$
$-\infty <v(x)\leq u(x)<\infty ,\;x\in X,$
$f:X \to \mathbb{R}$
$v(x)\leq f(x)\leq u(x),\;x\v X.$
( Weierstrassova věta ) Nechť je dána kompaktní podmnožina Potom spodní (horní) polospojitá funkce dosáhne svého minima (maxima) na . $K\podmnožina X.$ $f:K\to \mathbb{R}$ $K$

Příklady

Celočíselná část je horní polospojitá funkce; $x\mapsto[x]$
Zlomková část je spodní polospojitá. $x\mapsto\{x\}$
Indikátor libovolné otevřené množiny v topologii generované metrikou je nižší semispojitá funkce. ${\mathbf {1}}_{U}$ $\varrho$ $U\podmnožina X$
Indikátor libovolné uzavřené množiny je horní semispojitá funkce. ${\mathbf {1}}_{V}$ $V\podmnožina X$

Literatura

Natanson I.P., Teorie funkcí reálné proměnné , 3. vyd., M., 1974;
Sachs S, Teorie integrálu , přel. z angličtiny, M., 1949.