Ruffiniho pravidlo

Ruffiniho pravidlo je účinná technika pro dělení polynomu na binom ve tvaru V roce 1804 jej popsal Paolo Ruffini . [1] Ruffiniho pravidlo je speciální případ syntetického dělení , kdy je dělitel lineární. $xr.$

Algoritmus

Pravidlo stanoví metodu dělení polynomu

{\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0))

na binomii

Q(x)=xr

pro soukromé

{\displaystyle R(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots +b_{1}x+b_{0))

;

Algoritmus ve skutečnosti provádí dělení sloupců P ( x ) pomocí Q ( x ).

Aby bylo možné dělit P ( x ) Q ( x ) podle tohoto algoritmu, potřebujete

Vezměte koeficienty P ( x ) a zapište je v pořadí. Pak napište r vlevo, těsně nad řádek: ${\begin{array}{c|ccccc}&a_{n}&a_{n-1}&\tečky &a_{1}&a_{0}\\r&&&&\\\hline &&&&&\&&&&\\\end {pole}}$
Přesuňte koeficient nejvíce vlevo ( a n ) dolů, těsně pod čáru: ${\begin{array}{c|ccccc}&a_{n}&a_{n-1}&\tečky &a_{1}&a_{0}\\r&&&&&\\\hline &a_{n}&&&&\\& =b_{n-1}&&&&\\\end{array}}$
Vynásobte číslo úplně vpravo pod řádkem r a napište ho jako další nad řádek: ${\begin{array}{c|ccccc}&a_{n}&a_{n-1}&\tečky &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}r&&&\\\hline &a_{ n}&&&&\\&=b_{n-1}&&&&\\\end{array}}$
Přidejte dvě hodnoty do stejného sloupce: ${\begin{array}{c|ccccc}&a_{n}&a_{n-1}&\tečky &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}r&&&\\\hline &a_{ n}&a_{n-1}+(b_{n-1}r)&&&\\&=b_{n-1}&=b_{n-2}&&&\\\end{array}}$
Opakujte kroky 3 a 4, dokud jsou k dispozici čísla: ${\begin{array}{c|ccccc}&a_{n}&a_{n-1}&\tečky &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}r&&&\\\hline &a_{ n}&a_{n-1}+(b_{n-1}r)&\cdots &a_{1}+b_{1}r&a_{0}+b_{0}r\\&=b_{n-1} &=b_{n-2}&\cdots &=b_{0}&=s\\\end{array}}$

Čísla b i jsou koeficienty kvocientu ( R ( x )), jehož stupeň je o jednu menší než stupeň P(x). Poslední přijatá hodnota s je zbytek . Podle Bezoutovy věty je tento zbytek P ( r ).

Použití

Dělení polynomem x - r

Pracovní příklad dělení polynomů podle výše popsaného algoritmu.

Nechat:

P(x)=2x^{3}+3x^{2}-4,

Q(x)=x+1.

Chceme najít pomocí Ruffiniho pravidla. Hlavním problémem je, že to není binom ve tvaru , ale spíše to musíme přepsat takto: $P(x)/Q(x)$ $Q(x)$ $xr,$ $x+r.$