Predikát

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 18. srpna 2022; kontroly vyžadují 5 úprav .

Predikát ( lat. praedicatum "uvedl, zmínil, řekl") je výrok o subjektu . Předmětem prohlášení je to, o čem je prohlášení učiněno.

Predikát v programování je výraz , který používá jednu nebo více hodnot s logickým výsledkem .

Dále v tomto článku je slovo predikát použito ve smyslu výrokové formy .

Definice

Predikát ( -local nebo -ary ) je funkce se sadou hodnot (nebo {false, true}) definovanou na sadě . Každá množina prvků množiny je tedy charakterizována buď jako „pravdivá“ nebo jako „nepravdivá“. $n$ $n$ $\{0,1\}$ $M={{M}_{{1}}}\times {{M}_{{2}}}\times \ldots \times {{M}_{{n}}}$ $M$

Predikát může být asociován s matematickou relací : pokud n-tice patří do relace, pak na ni predikát vrátí 1. Jednomístný predikát konkrétně definuje relaci příslušnosti k nějaké množině . $(m_{1},m_{2},\dots ,m_{n})$

Predikát je jedním z prvků logiky prvních a vyšších řádů . Počínaje logikou druhého řádu lze vzorce kvantifikovat predikáty.

Predikát se nazývá stejně pravdivý a píší:

P\left(x_{1},...,x_{n}\vpravo)\ekviv 1

pokud se na jakékoli sadě argumentů vyhodnotí jako . $jeden$

Predikát se nazývá stejně nepravdivý a píší:

P\left(x_{1},...,x_{n}\vpravo)\ekviv 0

pokud se na jakékoli sadě argumentů vyhodnotí jako . $0$

Predikát se nazývá splnitelný , pokud na alespoň jedné sadě argumentů nabývá hodnoty . $jeden$

Protože predikáty nabývají pouze dvou hodnot, vztahují se na ně všechny operace booleovské algebry , například: negace , implikace , konjunkce , disjunkce atd.

Příklady

Predikátem označíme vztah rovnosti („ “), kde . V tomto případě se predikát vyhodnotí jako pravdivý pro všechny rovné a . $EQ(x,y)$ $x=y$ $x,y\in \mathbb {R}$ $\text{[math]}$ $X$ $y$

Přízemnějším příkladem by byl predikát ŽIJE pro vztah „ žije ve městě na ulici “ nebo LÁSKY pro „ lásky “ pro a patří k , kde množinou je množina všech lidí. $(x,y,z)$ $X$ $y$ $z$ $(x, y)$ $X$ $y$ $X$ $y$ $M$ $M$

Predikát je něco, co se tvrdí nebo popírá o předmětu soudu.

Operace s predikáty

Predikáty, stejně jako výroky, nabývají dvou hodnot: true a false, takže se na ně vztahují všechny operace výrokové logiky. Zvažte aplikaci výrokových logických operací na predikáty pomocí příkladů jednomístných predikátů.

Logické operace

Konjunkce dvou predikátů A(x) a B(x) je nový predikát , který nabývá hodnoty "true" pro ty a pouze ty hodnoty x z T, pro které každý z predikátů nabývá hodnotu "true", a ve všech ostatních případech má hodnotu "false". Pravdivostní množina T predikátu je průsečíkem pravdivostních množin predikátů A(x) -T1 a B(x) - T2, tedy T = T1 ∩ T2. Například: A(x): "x je sudé číslo", B(x): "x je násobek 3". A(x) B(x) - "x je sudé číslo a x je násobek 3". To znamená, že predikát "x je dělitelný 6". $A\levý(x\vpravo)\klín B\vlevo (x\vpravo)$ $A\levý(x\vpravo)\klín B\vlevo (x\vpravo)$

Disjunkce dvou predikátů A(x) a B(x) je nový predikát , který nabývá hodnoty „nepravda“ pro ty a pouze ty hodnoty x z T, pro které každý z predikátů nabývá hodnotu „nepravda“ a má ve všech ostatních případech hodnotu "true". Pravdivostní oblast T predikátu je sjednocením pravdivostních oblastí predikátů A(x) - T1 a B(x) - T2, tedy T = T1 ⋃ T2. $A\levá(x\vpravo)\vee B\vlevo (x\vpravo)$ $A\levá(x\vpravo)\vee B\vlevo (x\vpravo)$

Negací predikátu A(x) je nový predikát ¬A(x), který nabývá hodnoty „true“ pro ty a pouze ty hodnoty x z T, pro které má predikát A(x) hodnotu „ false" a má hodnotu "false", pokud je A(x) pravdivé.

Pravdivostní množina predikátu x X je doplněk T' k množině T v množině X.

Implikace predikátů A(x) a B(x) je nový predikát , který je nepravdivý pro ty a pouze ty hodnoty x z T, pro které A(x) je pravdivé a B(x) je nepravdivé, a ve všech ostatních případech se vyhodnotí jako „pravda“. Čtou: „Pokud A (x), pak B (x)“. $A\doleva(x\vpravo)\Šipka doprava B\doleva (x\vpravo)$

Například. A(x): "Přirozené číslo x je dělitelné 3." B(x): "Přirozené číslo x je dělitelné 4", můžete vytvořit predikát: "Je-li přirozené číslo x dělitelné 3, pak je také dělitelné 4". Pravdivostní množina predikátu je sjednocením pravdivostní množiny T2 predikátu B(x) a doplňku k pravdivostní množině T1 predikátu A(x). $A\doleva(x\vpravo)\Šipka doprava B\doleva (x\vpravo)$

Kvantifikátorové operace

Univerzální kvantifikátor $\pro všechny$
Kvantifikátor existence $\existuje$
Kvantifikátor existence na proměnné 1 $X$

Viz také

Literatura

Guts AK Matematická logika a teorie algoritmů. - Dědictví, Dialog-Sibiř, 2003.
Ershov Yu.L. , Palyutin E.A. Matematická logika. — M.: Nauka, Fizmatlit , 1987.
Igoshin VI Matematická logika a teorie algoritmů. — Akademie, 2008.
Kleene S. K. Matematická logika. — M.: Mir, 1973.
Mendelson E. Úvod do matematické logiky. — M.: Nauka, 1971.
Novikov PS Základy matematické logiky. — M.: Nauka, 1973.

Slovníky a encyklopedie	Velká Katalánština Velký Rus Britannica (online)
V bibliografických katalozích	GND : 4389352-1 J9U : 987007533943805171 LCCN : sh85106250 LNB : 000169114