Presheaf (teorie kategorií)

Presheaf v teorii kategorií je konstrukce, která zobecňuje topologické pojetí presheaf .

Formálně je presheaf na kategorii s hodnotami v kategorii funktor , tedy kontravariantní funktor od do . Nejčastěji se berou v úvahu presheaves s hodnotami v kategorii sad . Jestliže je částečně uspořádaná množina otevřených množin topologického prostoru zahrnutím, pak kategorický presheaf definuje presheaf na topologickém prostoru ve smyslu používaném v teorii svazků . $F$ $C$ $PROTI$ $F\colon C^{\mathrm {op} } \to \mathbf {V}$ $C$ $PROTI$ $C$

Morfismy mezi presheaves lze definovat jako přirozené transformace funktorů. To nám umožňuje uvažovat o kategorii funktorů . Funktor v se nazývá profuktor . ${\widehat {C}}=\mathbf {Sada} ^{C^{\mathrm {op} }}$ ${\widehat {C))$

Presheaf přirozeně izomorfní k funktoru Hom pro nějaký objekt kategorie se nazývá reprezentovatelný presheaf . $\mathrm {Hom} (-,A)$ $A$ $C$

Široce používaným příkladem presheaf v teoretickém smyslu kategorií je simpliciální množina , což je presheaf na simpliciální kategorii s hodnotami v kategorii množin. $\Delta$

Vlastnosti

Pokud je malá kategorie , pak kategorie snopů na ní je kartézsky uzavřená a dokonce i topos . Je také kompletní a kompletní . $C$ ${\widehat {C}}=\mathbf {Sada} ^{C^{\mathrm {op} }}$
Lokálně malá kategorie umožňuje úplné a univalentní vložení v kategorii kladek s hodnotami v — vložení Yoneda . ${\mathbf {Sada}}$

Literatura

McLane S. Kapitola 3. Univerzální konstrukce a limity // Kategorie pro pracujícího matematika = Kategorie pro pracujícího matematika / Per. z angličtiny. vyd. V. A. Artamonová. - M .: Fizmatlit, 2004. - S. 68-94. — 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .

Saunders Mac Lane, Ieke Moerdijk , "Snopy v geometrii a logice" (1992) Springer-Verlag - ISBN 0-387-97710-4