Jednoduchá sada

Simpliciální množina (v raných zdrojích semisimpliciální komplex ) je kategorie teoretická konstrukce, která zobecňuje koncept simpliciálního komplexu a v určitém smyslu modeluje koncept topologického prostoru s „dobrými“ vlastnostmi: homotopie. teorie pro jednoduché množiny je ekvivalentní klasické homotopické teorii pro topologické prostory. Je to čistě algebraická konstrukce, která poskytuje téměř úplnou rovnoběžnost s geometrickými objekty; v tomto ohledu je považován za jeden z nejdůležitějších objektů algebraické topologie, a to jak z metodologického, tak z instrumentálního hlediska [1] .

Z hlediska teorie kategorií je definován jako simpliciální objekt z kategorie množin , nebo ekvivalentně jako předsvazek simpliciální kategorie do kategorie množin.

Definice a struktura

Simpliciální množina je kontravariantní funktor ze simpliciální kategorie do kategorie množin : . $X$ $\Delta ^{{\mathrm {op}}}\to {\mathbf {Set}}$

Protože každý morfismus jednoduché kategorie je generován morfismy a ( ) definované jako [2] : $\delta _{i}^{n}:[n-1]\to [n]$ $\sigma _{i}^{n}:[n+1]\to [n]$ $0\leq i\leqslant n$

\delta _{i}^{n}(j)={\begin{cases}j,&j<i\\j+1,&j\geq i\end{cases}}

\sigma _{i}^{n}(j)={\begin{cases}j,&j\leq i\\j-1,&j>i\end{cases}}

pak lze jednoduchou množinu zkonstruovat jako systém vrstev propojených odpovídajícími ( duálními a ) zobrazeními a splňující vztahy : $n$ $X_n$ $\delta$ $\sigma$ $d_{i}^{n}:X_{n}\to X_{{n-1}}$ $s_{i}^{n}:X_{n}\to X_{{n+1}}$

d_{i}^{n}d_{j}^{{n+1}}=d_{{j-1}}^{n}d_{i}^{{n+1}}

, pokud ,

i<j

{\displaystyle s_{i}^{n}s_{j}^{n-1}=s_{j+1}^{n}s_{i}^{n-1))

, pokud ,

i\leqslant j

d_{i}^{n+1}s_{j}^{n}={\begin{cases}s_{j-1}^{n-1}d_{i}^{n},&i <j\\{\mathsf {Id}}_{X_{n}},&(i=j)\,\vee \,(i=j+1)\\s_{j}^{n-1} d_{i-1}^{n},&i>j+1\end{cases}}

Body vrstvy se nazývají -dimenzionální zjednodušení , navíc body vrstvy se nazývají vrcholy a body vrstvy se nazývají hrany. Morfismy se nazývají operátory obličeje a morfismy se nazývají operátory degenerace . $X_n$ $n$ $X_{0}$ $X_{1}$ $d_{i}^{n}$ $s_{j}^{n}$

Simpliciální zobrazení je (funktorový) morfismus mezi simpliciálními množinami , simpliciální zobrazení lze také považovat za kolekci vrstev , navíc platí: $f:X\to X'$ $f_{n}:X_{n}\to X_{n}'$

{\displaystyle d_{i}^{n}f_{n}=f_{n-1}d_{i}^{n))

( ),

0\leq i\leq n

s_{i}^{n}f_{n}=f_{{n+1}}s_{i}^{n}

( ).

0\leq i\leq n

Simpliciální množina se nazývá simpliciální podmnožina , pokud jsou všechna vlákna simpliciální mapy injektivní ; v tomto případě jsou operátory obličeje a operátory degenerace v omezení odpovídajících operátorů pro . $X$ $X'$ $f_{n}:X_{n}\to X_{n}'$ $f:X\to X'$ $X$ $X'$

Simpliciální faktorová množina je konstrukce získaná vrstvením faktorizace simpliciální množiny, tedy množiny vrstev , navíc odpovídajícími množinovými operátory jsou indukovány čelní operátory a degenerace vrstev faktorové vrstvy . $X/\sigma$ $X_{n}/\sigma$ $X$

Jednoduché množiny se všemi možnými simpliciálními zobrazeními mezi nimi tvoří kategorii [3] . ${\mathbf {Set}}^{{\Delta ^{{\mathrm {op}}}}}$

Motivace

Příklady

Vlastnosti

Kategorie jednoduchých množin připouští přímé a inverzní limity, které lze počítat vrstvu po vrstvě. Zejména pro všechny jednoduché množiny a přímý součin a přímý součet (oddělené sjednocení) jsou navíc pro všechny vrstvy definovány: $X$ $X'$ $X\krát X'$ $X\oplus X'$

(X\krát X')_{n}=X_{n}\krát X'_{n}

(X\oplus X')_{n}=X_{n}\oplus X'_{n}

Geometrické realizace

Cosimpliciální sada

Používá se také duální pojetí cosimpliciální množiny - funktor ze simpliciální kategorie do kategorie množin: . Cosimpliciální množiny mají podobnou vrstvenou strukturu s operátory obličeje a degenerace (duální k odpovídajícím operátorům simpliciálních množin) a tvoří kategorii . $\Delta \to {\mathbf {Set}}$ ${\mathbf {Set}}^{\Delta }$

Poznámky

↑ Gabriel, Tsisman, 1971 , ... Máme na mysli existenci téměř úplného paralelismu (vyjádřeného ekvivalencí odpovídajících kategorií) mezi homotopickou teorií topologických prostorů a analogickou teorií simpliciálních množin - objektů, v podstatě čistě algebraických . Teorie simpliciálních množin má na jedné straně velký metodologický význam, výrazně objasňující logickou a konceptuální podstatu základů algebraické topologie, na druhé straně hraje roli jednoho z nejmocnějších nástrojů pro topologické výzkum ... (z předmluvy M. M. Postnikova), str. 5.
↑ Jednoduchý objekt – článek Encyklopedie matematiky . Malygin S. N., Postnikov M. M.
↑ Zdroje ze 70. let používají notaci . Používá se také notace $\Delta ^{\circ }{\mathcal E}ns$ ${\mathbf {sSet}}$

Literatura

Gabriel P., Tsisman M. Kategorie zlomků a teorie homotopie = Calculus of Fractions and Homotopy Theory / Z angličtiny přeložila M. M. Postniková. — M .: Mir , 1971. — 296 s.
Jednoduchá sada - článek Encyklopedie matematiky . Malygin S. N., Postnikov M. M.
McLane S. Kapitola 7. Monoidy // Kategorie pro pracujícího matematika / Per. z angličtiny. vyd. V. A. Artamonová. - M. : Fizmatlit, 2004. - S. 188-221. — 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .