V teorii kategorií je reprezentovatelný funktor funktor speciálního typu z libovolné kategorie do kategorie množin . V jistém smyslu takové funktory definují reprezentaci kategorie z hlediska množin a funkcí.
Nechť C je lokálně malá kategorie , pak pro každý její objekt A Hom( A ,-) existuje funktor Hom , který posílá objekty X do množin Hom( A , X ).
Funktor F : C → Množina je reprezentovatelný , pokud je přirozeně izomorfní k Hom( A ,-) pro nějaký objekt A kategorie C .
Kontravariantní funktor G od C do Set , obvykle nazývaný presheaf , je reprezentovatelný, pokud je přirozeně izomorfní s kontravariančním funktorem hom Hom(-, A ) pro nějaký objekt A kategorie C .
Podle Yonedova lemmatu jsou přirozené transformace Hom( A ,-) na F v přímé korespondenci s prvky F ( A ). Abychom získali reprezentaci F , potřebujeme vědět, pro které u ∈ F ( A ) je odpovídající přirozená transformace izomorfismus. To motivuje následující definici:
Univerzálním prvkem funktoru F : C → Množina je dvojice ( A , u ), kde A je objekt C a u ∈ F ( A ), takže pro libovolnou dvojici ( X , v ) platí v ∈ F ( X ) existuje jedinečný morfismus f : A → X takový , že ( Ff ) u = v .
Přirozená transformace vyvolaná u ∈ F ( A ) je izomorfismus právě tehdy, když ( A , u ) je univerzální prvek. Proto jsou reprezentace funktorů často označovány jako generické členy. Z univerzální vlastnosti vyplývá, že reprezentace funktoru je jedinečná až do jedinečného izomorfismu (jedinečnost však vyplývá i z úplnosti Yonedova vnoření).
Kategorické definice univerzálních šipkových a adjungovaných funktorů lze vyjádřit pomocí reprezentovatelných funktorů.
Nechť G : D → C je funktor a X objekt C . Pak ( A ,φ) je univerzální šipka od X do G právě tehdy, když ( A ,φ) je reprezentace funktoru Hom C ( X , G -) od D do Set . Z toho vyplývá, že G má levé duální F právě tehdy, když Hom C ( X , G- ) je reprezentovatelné pro všechna X v C. Dvojí tvrzení jsou také pravdivá.