Princip oddělitelnosti

Princip separability (neboli princip separability ) je jedním z principů důkazů v matematice, založený na skutečnosti, že některé neprotínající se množiny lze nějakým způsobem v prostoru oddělit. Protože jde pouze o princip (a nikoli o axiom ), princip oddělitelnosti vyžaduje důkaz platnosti aplikace v každém konkrétním případě.

Aplikace principu separability je v podstatě založena na splnění axiomů separability pro daný prostor .

Oddělitelnost v euklidovském prostoru

V konečnorozměrném euklidovském prostoru vždy funguje princip oddělitelnosti v tom smyslu, že pro jakékoliv dvě uzavřené disjunktní množiny existuje plocha, která rozděluje prostor na dvě disjunktní části, takže každá množina patří zcela jedné z těchto částí. $\mathbb {R} ^{n}$

Oddělitelnost v Banachově prostoru

Ve funkčních (zejména Banachových ) prostorech je poměrně obtížné zaručit oddělitelnost libovolných množin. V konkrétních případech je však problém vyřešen poměrně snadno. Například:

Jakékoli dvě neprotínající se konvexní množiny , z nichž jedna má neprázdný vnitřek, lze oddělit nadrovinou .
Jakékoli dvě disjunktní uzavřené konvexní množiny, z nichž jedna je kompaktní, mohou být silně odděleny nadrovinou.

Související definice

O množinách A a B v Banachově prostoru se říká, že jsou oddělitelné , pokud existuje funkční p takový, že pro libovolný , $v A$ $b\in B$

\langle p,a\rangle \leq \langle p,b\rangle

O množinách A a B v Banachově prostoru se říká , že jsou silně separovatelné , pokud existuje funkcionál p takový, že pro libovolný , $v A$ $b\in B$

\langle p,a\rangle <k<\langle p,b\rangle ,\,k\in {\mathcal {R))

Aplikace

Princip oddělitelnosti se používá při důkazu mnoha silných geometrických tvrzení. Zejména s jeho pomocí je podložen základní princip a Fenchel-Moro teorém .

Viz také

Literatura

Polovinkin E. S., Balashov M. V. Prvky konvexní a silně konvexní analýzy. - M .: Fizmatlit , 2004. - 416 s - ISBN 5-9221-0499-3