Mercatorova projekce

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 17. září 2022; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Mercatorova konformní válcová projekce je jednou z hlavních mapových projekcí . Vyvinutý Gerardem Mercatorem pro použití ve svém Atlasu. " Equiangular " v názvu projekce zdůrazňuje, že projekce zachovává úhly mezi směry. Všechny loxodromy v něm jsou znázorněny rovnými čarami. Meridiány v Mercatorově projekci jsou znázorněny rovnoběžnými, stejně vzdálenými čarami. Na druhé straně rovnoběžky jsou rovnoběžné čáry, jejichž vzdálenost v blízkosti rovníku se rovná vzdálenosti mezi poledníky a rychle se zvětšuje, když se přibližuje k pólům . Samotné póly nelze na Mercatorově projekci znázornit (to je způsobeno zvláštnostmi funkce, která mapuje souřadnice na kouli na souřadnice v rovině), proto je obvykle mapa v Mercatorově projekci omezena na oblasti do max. 80-85 ° severní a jižní šířky .

Měřítko na mapě v této projekci není konstantní, zvětšuje se od rovníku k pólům (jako inverzní kosinus zeměpisné šířky), nicméně měřítka vertikálně a horizontálně jsou vždy stejná, čímž je ve skutečnosti dosaženo rovnoúhelnosti projekce. Na mapách v této projekci je vždy uvedeno, ke které rovnoběžce patří hlavní měřítko mapy.

Protože Mercatorova projekce má v různých oblastech různé měřítko, tato projekce nezachovává oblasti. Pokud se hlavní měřítko vztahuje k rovníku, pak největší zkreslení ve velikosti objektů bude na pólech. To je jasně vidět na mapách v této projekci: na nich se zdá, že Grónsko je 2-3krát větší než Austrálie a co do velikosti srovnatelné s Jižní Amerikou . Ve skutečnosti je Grónsko třikrát menší než Austrálie a 8krát menší než Jižní Amerika.

Pro potřeby navigace se zejména za starých časů ukázala jako velmi vhodná projekce Mercator. To je vysvětleno skutečností, že trajektorie lodi pohybující se pod stejným loxodromem k poledníku (tj. s střelkou kompasu ve stejné poloze vzhledem k měřítku) je v Mercatorově projekci na mapě znázorněna přímkou. .

Matematické vyjádření Mercatorovy projekce

Pro začátek zvažte nejjednodušší verzi Mercatorovy projekce: projekci koule na válec. Tato možnost nebere v úvahu zploštělost Země na pólech. Válcovitost promítání nám okamžitě dává výraz pro vodorovnou souřadnici na mapě: je jednoduše úměrná zeměpisné délce bodu (při použití ve výpočtech je třeba vzít v úvahu, že tato hodnota by měla být vyjádřena v radiánech): $\lambda$

x=c(\lambda -\lambda _{0}).

Podmínkou ekviúhlosti je jednoduše rovnost měřítek podél vodorovné a svislé osy. Protože měřítko podél osy X v zeměpisné šířce je jednoduše ( R je poloměr Země), pak z podmínky získáme výraz pro závislost y na : $\theta$ $c/(R\cos \theta )$ $dyR\cos\theta /c=Rd\theta$ $\theta$

{\begin{matrix}y&=&c\ln \operatorname {tg} \left({\frac {\theta }{2))+{\frac {\pi }{4))\right)\\ &=&c\,\jméno operátora {arth} \sin \theta .\end{matrix}}}

(Tady arth je inverzní hyperbolická tečna ).

Funkce má speciální název funkce Lambert nebo Lambertian (podle Johanna Lamberta ) a někdy se označuje jako nebo (viz také Integrál sekanty ). $\operatorname {arth} \sin \theta$ $\operatorname {lam} \theta$ $\operatorname {arcgd} \theta$

Zpětná transformace (z lineární souřadnice y na zeměpisnou šířku θ ) se nazývá Gudermannova funkce nebo Gudermannian (na počest Christopha Gudermanna ) a označuje se . lineární funkce: $\operatorname {gd} y.$

{\begin{matrix}\theta &=&\operatorname {gd} y=2\operatorname {arctg} \left(e^{y/c}\right)-{\frac {1}{2} }\pi \\\\\ &=&\jméno operátora {arctg} \left(\jméno operátora {sh} (y/c)\right),\\\\\lambda &=&x/c+\lambda _{0} .\end{matrix}}

Nyní není obtížné získat výrazy pro konformní projekci s přihlédnutím k elipsoidnímu tvaru Země. Chcete-li to provést, napište metrický tvar elipsoidu ( a - polohlavní osa , b - polo-vedlejší osa) v zeměpisných souřadnicích.

dl^{2}={\frac {a^{2}d\lambda ^{2}}{1+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\operatorname { tg} ^{2}\theta }}+{\frac {b^{4}}{a^{2}}}{\frac {d\theta ^{2}}{(\cos ^{2}\ theta +{\frac {b^{2}}{a^{2}}}\sin ^{2}\theta )^{3}}},

přejděte na souřadnice x a y v něm a srovnejte měřítka podél os. Po integraci dostaneme

{\begin{matrix}x&=&c(\lambda -\lambda _{0})\\y&=&c[\operatorname {arth} \sin \theta -\varepsilon \operatorname {arth} (\varepsilon \ sin \theta )].\end{matrix}}

Zde je excentricita zemského elipsoidu . $\varepsilon ={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}/a$

Inverzní transformace, obecně řečeno, není vyjádřena v elementárních funkcích , ale rovnici pro inverzní transformaci lze snadno vyřešit metodou poruchové teorie v malých . Iterační vzorec pro inverzní transformaci je následující: $\varepsilon$

\theta _{{n+1}}=f\left(\theta _{{n}},y\vpravo)

, kde může být vzato rovno 0 nebo aproximaci vypočítané podle vzorce pro sféroid.

\theta _{0}

\theta _{n+1}=\arcsin \left(1-{\frac {(1+\sin \theta _{n})(1-\varepsilon \sin \theta _{n})^ {\varepsilon }}{e^{\frac {2y}{c}}(1+\varepsilon \sin \theta _{n})^{\varepsilon }}}\right)

Viz také

Web Mercator

Odkazy

Slovníky a encyklopedie

V bibliografických katalozích
BNE : XX4793961 BNF : 14648830n GND : 4380201-1 J9U : 987007537448405171 LCCN : sh2003001211 SUDOC : 089909232

Slavné mapy a glóby
Starověk	Mapa Turínského papyru Babylonská mapa světa Mapa Ptolemaia Peitingerova tableta Mapa Madaba Křesťanská topografie Zeměkoule přepravek
středověk ( mappa mundi , portoláni )	Na mapu Merovejská mapa Beatova karta Roger mapa Mapa Ebstorf Psalter karta Vercelliho mapa Mapa Hereford Mapy Dulcert Katalánský atlas Mapa pizzy Mapa De Virga Mapa Bianco Mapa Fra Mauro Mapa Vinland
Velké geografické objevy	Mapa Juan de la Cosa Planisphere Cantino Mapa Caveri Mapa Waldseemüller Mapa Pietro Coppo Mapa Piri Reis Miller Atlas
nový čas	Carta Marina Lev Belgicus Maris Pacifici Velký modrotisk rezervovat Mapa Cassini Mercatorovy mapy Atlas Ortelia Blauova kosmografie Turgotův plán
Mapy Dálného východu	Velká mapa dynastie Ming Cannido Mapa Mao Kun Mapa Mattea Ricciho
glóby	zemské jablko Jagellonský glóbus Glóbus Johanna Schönera Gottorpský glóbus Globe Blau