Moyalův kousek

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 14. dubna 2022; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Produkt Moyale je nejslavnějším příkladem hvězdného produktu ve fázovém prostoru . Jedná se o asociativní komutativní hvězdicový součin funkcí na ℝ 2n vybavený Poissonovou závorkou (zobecněnou na symplektické manifoldy , viz níže). Toto je speciální případ hvězdného součinu „symbolové algebry“ v univerzální obalové algebře .

Pojmenována po izraelském vědci José Enrique Moyalovi.

Historie

Produkt Moyal je pojmenován po José Enrique Moyalovi, ale je také někdy nazýván produktem Weyl -Grunewold, jak jej představil J. Grunevold ve své doktorské práci v roce 1946, s hlubokým spojením [1] s korespondencí Weyl. Moyal si toho ve svém slavném článku [2] ve skutečnosti nebyl vědom a absence toho v jeho korespondenci s Diracem, jak ukazuje jeho biografie, bolestně chyběla. [3] Název díla se objevil na počest Moyala, zdá se, až v 70. letech 20. století jako pocta fázově-prostorové diskretizaci obrazu jeho bytu. [čtyři]

Definice

Součin pro hladké funkce f a g z ℝ 2n má tvar

f\star g=fg+\sum _{n=1}^{\infty }\hbar ^{n}C_{n}(f,g),

kde každé Cn je definovaný bi -diferenciální operátor řádu n , je charakterizován následujícími vlastnostmi (viz níže pro explicitní vzorec):

f\star g=fg+{\mathcal {O}} (\hbar )

Dot product warp - zahrnuto ve vzorci výše.

f\star gg\star f=i\hbar \{f,g\}+{\mathcal {O))(\hbar ^{3})\equiv i\hbar \{\{f,g\ }\}

Deformace Poissonových závorek se nazývá Moyaleovy závorky.

f\star 1=1\star f=f

1 z nedeformované algebry je také jednotkou v nové algebře.

{\overline {f\star g}}={\overline {g}}\star {\overline {f}}

Komplexní konjugace je anti-automorfismus.

Všimněte si, že pokud vezmeme funkce, které nabývají reálné hodnoty , pak alternativa vylučuje vlastnost 2 a vylučuje vlastnost 4. $i$

Pokud omezíme úvahu na polynomiální funkce, pak je výše uvedená algebra izomorfní k Weilově algebře A n a alternativní implementace Weylovy mapy prostoru polynomů v n proměnných (neboli symetrická algebra vektorového prostoru dimenze 2 n ) je možné.

Chcete-li dát explicitní vzorec, zvažte Poissonovu konstantu bivektoru Π z ℝ 2 n :

\Pi =\sum _{i,j}\Pi ^{ij}\partial _{i}\wedge \partial _{j},

kde Π ij je komplexní číslo pro každé i a j.

Hvězdný součin dvou funkcí a lze jej definovat jako $F$ $G$

f\star g=fg+{\frac {i\hbar }{2}}\sum _{i,j}\Pi ^{ij}(\partial _{i}f)(\partial _{j }g)-{\frac {\hbar ^{2}}{8}}\součet _{i,j,k,m}\Pi ^{ij}\Pi ^{km}(\částečné _{i} \částečné _{k}f)(\částečné _{j}\částečné _{m}g)+\ldots ,

kde ħ je redukovaná Planckova konstanta , je považováno za formální parametr. Tento výraz je také znám jako zvláštní případ Berezinovy formule [5] v algebře symbolů a může být reprezentován v uzavřeném tvaru [6] (což vyplývá z Campbell-Baker-Hausdorffova vzorce ). Uzavřenou formu lze získat exponenciálním :

f\star g=m\circ e^{{\frac {i\hbar }{2}}\Pi }(f\otimes g),

kde je mapa násobení a exponent je považován za mocninnou řadu: $m$ $m(a\otimes b)=ab$

e^{A}:=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n!)}}A^{n}.

Tedy vzorec na to $C_{n}$

C_{n}={\frac {i^{n}}{2^{n}n!}}m\circ \Pi ^{n}.

Jak bylo uvedeno, všechny výskyty výše jsou často vyloučeny a vzorec je omezen na reálná čísla. $i$

Všimněte si, že pokud jsou funkce f a g polynomy, nekonečný součet se stává konečným (omezeno na obvyklý případ Weylovy algebry).

Vztah mezi Moyaleovým součinem a zobecněným ★-součinem použitým v definici „symbolové algebry“ v univerzální obalové algebře vyplývá ze skutečnosti, že Weylova algebra je univerzální obalovou algebrou Heisenbergovy algebry (vzhledem k tomu, že střed je roven jedné).

Na rozdělovačích

Na nějakém symplektickém manifoldu lze, alespoň lokálně, zvolit souřadnice takové, že konstanta symplektické struktury podle Darbouxova teorému ; a za použití vhodného Poissonova bivektoru lze uvažovat výše uvedené vzorce. Aby bylo možné pracovat na celém manifoldu (a používat více než jen lokální vzorec), je nutné vybavit symplektický manifold beztorzní symplektický spoj . To z něj dělá Fedosovův rozdělovač.

Obecnější výsledky pro libovolné Poissonovy variety (kde Darbouxova věta selhává) jsou dány Kontsevichovým kvantizačním vzorcem.

Příklady

Jednoduchý explicitní příklad konstrukce a použití ★-součinu (v nejjednodušším případě dvourozměrného euklidovského fázového prostoru ) je uveden v článku o Wigner-Weylově transformaci: dva Gaussovy jsou spojeny ★ -součinem podle k zákonu hyperbolické tečny: [7]

\exp \left[-a\left(x^{2}+p^{2}\right)\right]\star \exp \left[-b\left(x^{2}+p^ {2}\right)\right]={\frac {1}{1+\hbar ^{2}ab}}\exp \left[-{\frac {a+b}{1+\hbar ^{2 }ab}}\left(x^{2}+p^{2}\vpravo)\vpravo].

(Všimněte si klasické limity jako ħ → 0 .)

Každý přechodový recept mezi fázovým prostorem a Hilbertovým prostorem však vyvolává svůj vlastní ★ -produkt . [8] [9]

Podobné výsledky jsou pozorovány v Segal-Bargmannově prostoru a v theta reprezentaci Heisenbergovy grupy , kde se rozumí, že kreační a anihilační operátory a působí v komplexní rovině (respektive v horní polorovině u Heisenbergovy grupy), takže operátory polohy a hybnosti jsou dány a . Tato situace je jasně odlišná od případu, kdy se předpokládá, že souřadnice jsou skutečné, ale vrhá světlo na obecnou algebraickou strukturu Heisenbergovy algebry a jejího pláště, Weylovy algebry. $a^{*}=z$ $a=\partial /\partial z$ $x=(a+a^{*})/2$ $p=(aa^{*})/(2i)$

Odkazy

↑ HJ Groenewold, "O principech elementární kvantové mechaniky", Physica , 12 (1946) s. 405-460.
↑ Moyal, JE Kvantová mechanika jako statistická teorie // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society : deník. - 1949. - Sv. 45 . — S. 99 . - doi : 10.1017/S0305004100000487 . - .
↑ Ann Moyal, „ Maverick Mathematician: The Life and Science of JE Moyal archived 1 June 2020 at Wayback Machine “, ANU E-press, 2006.
↑ Curtright, TL Kvantová mechanika ve fázovém prostoru (nespecifikováno) // Newsletter fyziky Asie a Tichomoří . - 2012. - T. 1 . - S. 37 . - doi : 10.1142/S2251158X12000069 . - arXiv : 1104.5269 .
↑ FA Berezin , "Některé poznámky o související obálce Lie algebry", Funct.
↑ Xavier Bekaert, „ Univerzální obalové algebry a některé aplikace ve fyzice Archivováno 8. srpna 2017 na Wayback Machine “ (2005) Přednáška, letní škola v Modave v matematické fyzice .
↑ C. Zachos, D. Fairlie a T. Curtright, „Kvantová mechanika ve fázovém prostoru“ (World Scientific, Singapur, 2005) ISBN 978-981-238-384-6 .
↑ Cohen, L. (1995) Časově-frekvenční analýza , Prentice-Hall, New York, 1995.
↑ Lee, HW teorie a aplikace kvantových fázově-prostorových distribučních funkcí // Physics Reports : deník. - 1995. - Sv. 259 , č.p. 3 . — S. 147 . - doi : 10.1016/0370-1573(95)00007-4 . - .