Generování funkční
Generující funkcionál je rozšířením konceptu generující funkce momentů pro jednorozměrné / konečně-dimenzionální Gaussovo rozdělení na spojité Gaussovo rozdělení .
Definice
Generující funkcionál korelačních funkcí je definován takto:
kde je průměr souboru. Bez redukce je definice generujícího funkcionálu pro Gaussovo rozdělení kontinua normalizovaná na 1 s kvadratickou formou takto:
.
![{\displaystyle G(A)=\det \left[{\frac {K}{2\pi }}\right]^{1/2}\cdot \int \!{\mathcal {D}}\varphi \ ,\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\left(\varphi ,K\varphi \right)+\left(A,\varphi \right)\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2219290d2c536102e674fd86b8366ccceb490a3)
Tato definice je však obvykle psána ve zkrácené formě, vynechává symboly a integrace:
Vztah mezi korelačními funkcemi a generováním funkcionálu
Protože definice korelačních funkcí je následující:
spojení mezi generujícím funkcionálním a korelačními funkcemi se získá:
![{\displaystyle G_{n}(X_{1},X_{2},\tečky X_{n})=\left[{\frac {\delta }{\delta A(X_{1}))){\ frac {\delta }{\delta A(X_{2})}}\tečky {\frac {\delta }{\delta A(X_{n)))))G(A)\right]_{A= 0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef5f9d7737731e648782e4f59a122cd6008ae4dc)
kde je variační derivace. Tento vzorec je úplnou analogií vzorce pro výpočet momentů pomocí funkce generování momentů pro konečné-dimenzionální Gaussovo rozdělení.
Výpočet korelačních funkcí
Pro dráhové integrály platí následující vzorec:
.
![{\displaystyle \int \!{\mathcal {D}}\varphi \,\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\left(\varphi ,K\varphi \right)+\left (A,\varphi \right)\right\}=\det \left[{\frac {K}{2\pi }}\right]^{-1/2}\exp \left\{{\frac { (A,K^{-1}A)}{2}}\vpravo\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b88dd7586b1dd330e16e316ee72b6228ec15415b)
Je vidět, že jeho levá strana je definice (až do normalizace) generujícího funkcionálu . Pak pro párovou korelační funkci dostaneme
![{\displaystyle G_{2}(X_{1},X_{2})=\det \left[{\frac {K}{2\pi }}\right]^{1/2}\cdot \left[ {\frac {\delta }{\delta A(X_{1})}}{\frac {\delta }{\delta A(X_{2)))))\det \left[{\frac {K} { 2\pi }}\right]^{-1/2}\exp \left\{{\frac {(A,K^{-1}A)}{2}}\right\}\right]_ { A=0}=K^{-1}(X_{1},X_{2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac83b47fc7f180de16ee6159073e59f97766f7cb)
To znamená
Jiné typy generujících funkcionálů
Je jasné, že funkcional je definován výše
zachovává generující vlastnosti pro jiné distribuce, které na parametru nezávisí . Protože existuje celá třída fyzikálních teorií, hustota distribuce je dána „téměř kvadratickým“ akčním funkcionálem :
![{\displaystyle \rho [\varphi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecad3ec9c27285a9517d7473e67d18ce44b53e00)
![{\displaystyle S[\varphi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db5fdc195e3f0d76fb555087c3712f5bf8936e13)
![{\displaystyle \rho [\varphi ]=C\cdot e^{-S[\varphi ]},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8917e344d7b888fa827a828fca30dfe6bf9acff0)
![{\displaystyle S[\varphi ]={\frac {1}{2}}\left(\varphi ,K\varphi \right)+V[\varphi ],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d98e67662fab901c532e76f3da656362a823af6)
kde je malé, pro ně jsou definovány jejich vlastní generující funkcionály s různými fyzikálními významy. Říká se jim generující funkcionály Greenových funkcí . Mezi nimi: generující funkcionalita kompletních Greenových funkcí
![{\displaystyle V[\varphi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f86acdb0e3220ebaa2169212e1d826bc42fe63b1)
![{\displaystyle G(A)={\frac {\int \!{\mathcal {D}}\varphi \,\exp \left\{-S[\varphi ]+\left(A,\varphi \right) \right\}}{\int \!{\mathcal {D}}\varphi \,\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\left(\varphi ,K\varphi \right) \že jo\}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfb0fe29ac60923f41c51ca5ff18bc47dc180b8c)
připojené Greenovy funkce
a 1-neredukovatelné Greenovy funkce
Své názvy dostaly díky tomu, že podle poruchové teorie se jejich expanze ve smyslu malého parametru (tzv. vazebná konstanta ) v diagramové reprezentaci skládá ze všech možných diagramů pro danou teorii, pouze pro souvislá, a pouze za 1- neredukovatelné.
![{\displaystyle g\sim V[\varphi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca1839d531aa751310e62979e867484388f6e1ef)
Viz také
Poznámky
- ↑ 1 2 Vasiliev, 1998 , str. 139-143.
- ↑ Vasiliev, 1998 , s. 147.
Literatura
- Vasiliev A.N. Skupina renormalizace kvantového pole v teorii kritického chování a stochastické dynamiky. - Nakladatelství St. Petersburg Institute of Nuclear Physics (PNPI), 1998. - ISBN 5-86763-122-2 .