Urysohnův prostor

Urysohnův prostor je metrický prostor , v určitém smyslu univerzální. Obvykle se označuje . $\mathbb {U}$

Definice

Urysohnův prostor je kompletní oddělitelný metrický prostor s následujícími dvěma vlastnostmi: $\mathbb {U}$

Univerzálnost: jakýkoli konečný metrický prostor je izometrický vůči nějaké podmnožině . $\mathbb {U}$
Konečná homogenita: pro jakékoli dvě její konečné izometrické podmnožiny se jakákoli izometrie mezi nimi rozšiřuje na globální izometrii . $Y_{1},Y_{2}\subset \mathbb {U}$ $\mathbb {U}$

Poznámka

Ekvivalentně může být Urysohnův prostor definován jako úplný oddělitelný metrický prostor , který má vlastnost rozšíření; to znamená, že jakékoli izometrické zobrazení z podmnožiny konečného metrického prostoru lze rozšířit na izometrické zobrazení . $\mathbb {U}$ $A\to \mathbb {U}$ $A$ $F$ $F\to \mathbb {U}$

Vlastnosti

Urysohnův prostor existuje a je jedinečný až do izometrie. $\mathbb {U}$

Prostor Urysohn je kompaktně homogenní . To znamená, že jakékoli izometrické zobrazení kompaktní podmnožiny lze rozšířit na izometrii . $\mathbb {U}$ $K\subset \mathbb {U}$ $U$ $\mathbb {U}$

Urysohnův prostor je homeomorfní na součin spočitatelného počtu reálných čar. [jeden] $\mathbb {U}$

Při určité přirozené proceduře pro generování náhodného kompletního oddělitelného metrického prostoru se výsledný prostor téměř jistě ukáže jako izometrický s Urysohnovým prostorem.
- Tato vlastnost je analogická základní vlastnosti grafu Rado-Erdős-Rényi .

Historie

Maurice Fréchet dokázal, že prostor je $\ell ^{\infty }$ univerzální, to znamená, že zahrnuje izometrickou kopii jakéhokoli oddělitelného metrického prostoru. Na rozdíl od Urysohnova prostoru však není ani definitivně homogenní, ani oddělitelný. Nastolil otázku existence oddělitelného prostoru s touto vlastností. Takový prostor vybudoval Pavel Samuilovich Uryson . [2] $\ell ^{\infty }$

Miroslav Katetov kladně odpověděl na Urysonovu otázku o existenci neúplného univerzálního konečně homogenního prostoru . [3] Ve stejném článku je uvedena mírně zjednodušená konstrukce Urysohnova prostoru.

Poznámky

↑ V. Uspenskij. "Urysohnův univerzální metrický prostor je homeomorfní s Hilbertovým prostorem." TopologyAppl. 139,1-3 (2004), 145-149.
↑
- "Sur un espace metrique universel" Comptes Rendus Acad, Paříž, 180 (1925), str. 803 (krátké sdělení)
- "Sur un espace metric Universl" Bull, de Sciences Mahematiques, 2. řada, sv. 51, s. 1-38.
  - Překlad: Uryson, PS "Na univerzálním metrickém prostoru." PS Uryson. Práce na topologii a dalších oblastech matematiky. M: 747-777.
↑ M. Kattov. „O univerzálních metrických prostorech“. Obecná topologie a její vztahy k moderní analýze a algebře, VI (Praha, 1986). sv. 16.Res. Exp. Matematika. Heldermann, Berlín 1988, 323–330.

Odkazy

S. A. Bogatyi, Kompaktní homogenita Urysonova univerzálního metrického prostoru , Ruská matematika .

A. M. Vershik , Náhodný metrický prostor je Urysohnův prostor, Dokl. RAN , 387 :6 (2002), 733-736

A. M. Vershik, Univerzálnost a náhodnost v geometrii a analýze , videozáznam přednášky dne 28. září 2006 na celoústavovém semináři "Matematika a její aplikace" Matematického ústavu. V. A. Steklov RAS.

A. M. Vershik, Náhodné metrické prostory a univerzálnost , Uspekhi Mat . Nauk , 59 :2(356) (2004), 65-104.

J. Melleray, Některé geometrické a dynamické vlastnosti Urysohnova prostoru. TopologyAppl. 155 (2008), čís. 14, 1531–1560.