Nezávislý přírůstkový proces

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 7. června 2019; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Proces s nezávislými přírůstky v teorii náhodných procesů je zobecněním konceptu součtu nezávislých náhodných veličin.

Definice

Náhodný proces , kde se nazývá proces s nezávislými přírůstky, pokud pro nějaké takové, že , náhodné proměnné : jsou nezávislé . $\{X_{t}\}_{t\in T}$ $T\subset [0,+\infty )$ $t_{0},t_{1},\ldots ,t_{n}\in T$ $0=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n-1}<t_{n}$ $X_{t_{0}},X_{t_{1}}-X_{t_{0}},\ldots ,X_{t_{n}}-X_{t_{n-1}}$

Poznámka

Nechte _ Nechte _ Pak $T=\mathbb {N} \cup \{0\}$ $Y_{n}=X_{n}-X_{n-1},\;n\in \mathbb {N}$

X_{n}=\součet \limits _{i=1}^{n}Y_{i}

a jsou nezávislé náhodné proměnné. $\{Y_{n}\}_{n\geq 1}$

Vlastnosti

Dovolit být náhodný proces, a být charakteristická funkce náhodné proměnné , kde . Pak je proces s nezávislými přírůstky tehdy a jen tehdy, když pro jakékoli a platí rovnost: $\{X_{t}\}_{t\in T}$ $\phi _{X_{t}-X_{r}}$ $X_{t}-X_{r}$ $t>r$ $\{X_{t}\}$ $0\leq r<s<t<\infty$ $u\in \mathbb {R}$

\phi _{X_{t}-X_{r}}(u)=\phi _{X_{s}-X_{r}}(u)\cdot \phi _{X_{t}-X_{s} }(u)

Jakýkoli proces s nezávislými přírůstky je markovovský . Opak obecně neplatí.

Příklady

Wienerův proces ;
Poissonův proces .

Slovníky a encyklopedie	Velký Rus
V bibliografických katalozích	BNF : 13323277c GND : 4463623-4 J9U : 987007532439005171 LCCN : sh95010454