Balíček modulů

V matematice je svazek modulů svazek nad prstencovým prostorem , který má strukturu modulu nad strukturálním svazkem . $(X,O_{X})$ $O_{X}$

Definice

Pro prstencový prostor je svazek -modulů (nebo jednoduše -module ) svazkem přes takový, který je -modulem pro každou otevřenou sadu a pro každou otevřenou sadu obsaženou v , je mapování omezení konzistentní se strukturou modulů: za každého , co máme $(X,O_{X})$ $O_{X}$ $O_{X}$ $F$ $X$ $F(U)$ $O_{X}(U)$ $U$ $PROTI$ $U$ $F(U)\to F(V)$ $a\in O_{X}(U),f\in F(U)$

(af)|_{V}=a|_{V}f|_{V}

-modulový morfismus je morfismus svazků takový, že pro jakoukoli otevřenou množinu je mapování -modulový morfismus . $O_{X}$ $F\to G$ $U$ $F(U)\to G(U)$ $O_{X}(U)$

Příklady

Svazek konstrukce je -modul. Svazek modulů, který je podsvazkem svazku, se nazývá svazek ideálů na . $O_{X}$ $O_{X}$ $O_{X}$ $O_{X}$ $X$
Jestliže je morfismus -modules, pak kernel , image a cokernel jsou -modules. $f:F\to G$ $O_{X}$ $F$ $O_{X}$
Jakékoli přímé součty , přímé součiny , přímé a inverzní limity -modulů jsou -moduly. Svazek modulů se nazývá volný , pokud je izomorfní k přímému součtu několika kopií . Svazek -modulů se nazývá lokálně volný ( of rank ), pokud má každý bod otevřené okolí, na kterém je volný (je izomorfní k přímému součtu kopií svazku ). Místně volný svazek úrovně 1 se také nazývá invertibilní svazek . $O_{X}$ $O_{X}$ $O_{X}$ $O_{X}$ $O_{X}$ $F$ $r$ $X$ $F$ $r$ $O_{X}$
Pokud jsou svazky -modulů, pak lze definovat svazek morfismů od do takto: $F,G$ $O_{X}$ $F$ $G$ $U\mapsto Hom_{O_{X}(U)}(F(U),G(U)).$ Duál z -module $O_{X}$ na --module je modul morfismů od do . $O_{X}$ $F$ $F$ $O_{X}$
Svazek spojený s předsvazkem je označen . Jeho vlákno v bodě je kanonicky izomorfní . Symetrický a vnější produkt je definován podobně. $U\to F(U)\otimes _{O_{X}(U)}G(U)$ $F\otimes _{O_{X}}G$ $X$ $F_{x}\otimes _{O_{X,x}}G_{x}$

Literatura

Hartshorne R. Algebraická geometrie / přel. z angličtiny. V. A. Iskovskikh. — M .: Mir, 1981.
Grothendieck, Alexandre; Dieudonne, Jean . "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas" . Publikace Mathématiques de l'IHES. 4 , 1960.