Relativistický rovnoměrně zrychlený pohyb

Relativistický rovnoměrně zrychlený pohyb (nebo relativistický rovnoměrně zrychlený pohyb ) je pohyb objektu, ve kterém je jeho vlastní zrychlení konstantní. Vlastní zrychlení je zrychlení objektu v doprovodné (vlastní) vztažné soustavě , tedy v inerciální vztažné soustavě, ve které je aktuální okamžitá rychlost objektu nulová (v tomto případě se vztažná soustava mění z bod k bodu). Příkladem relativistického rovnoměrně zrychleného pohybu může být pohyb tělesa o konstantní hmotnosti působením konstantní (v pohybující se vztažné soustavě) síly . Akcelerometr umístěný na rovnoměrně se zrychlujícím tělese nemění své hodnoty.

Na rozdíl od klasické mechaniky se fyzické tělo nemůže vždy pohybovat s konstantním (v pevné inerciální vztažné soustavě ) zrychlením , protože v tomto případě jeho rychlost dříve nebo později překročí rychlost světla . Vlastní zrychlení však může být konstantní po libovolně dlouhou dobu; v tomto případě se rychlost objektu v pevné inerciální vztažné soustavě asymptoticky přiblíží rychlosti světla, ale nikdy ji nepřekročí.

V relativistické mechanice konstantní síla působící na objekt neustále mění svou rychlost, ale přesto je nižší než rychlost světla. Nejjednodušším příkladem relativisticky rovnoměrně zrychleného pohybu je jednorozměrný pohyb nabité částice v rovnoměrném elektrickém poli směrovaném podél rychlosti [1] .

Pro pozorovatele pohybujícího se s konstantním zrychlením v Minkowského prostoru existují dva horizonty událostí , takzvané Rindlerovy horizonty (viz Rindlerovy souřadnice ).

Rychlost versus čas

Když na těleso s konstantní hmotností působí síla [2] , mění se jeho hybnost následovně [3] : $\textstyle \mathbf {f}$ $\textstyle m$

\mathbf {f} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}={\frac {d}{dt}}{\frac {m\mathbf {u} }{\sqrt { 1-\mathbf {u} ^{2}/c^{2}}}}.

Pokud je síla konstantní, pak se tato rovnice snadno integruje:

{\frac {\mathbf {u} }{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}/c^{2))))=\mathbf {w} _{0}+\mathbf {v,

kde je konstantní vektor ve směru síly a je integrační konstanta vyjádřená jako počáteční rychlost objektu v čase : $\textstyle \mathbf {a} =\mathbf {f} /m$ ${\displaystyle \textstyle \mathbf {w} _{0))$ $\textstyle \mathbf {u} _{0}$ $\textstyle t=0$

\mathbf {w} _{0}={\frac {\mathbf {u} _{0}}{\sqrt {1-\mathbf {u} _{0}^{2}/c^{ 2}}}}.

Výslovné vyjádření rychlosti v čase má tvar:

\mathbf {u} (t)={\frac {\mathbf {w} _{0}+\mathbf {a} \,t}{\sqrt {1+(\mathbf {w} _{0 }+\mathbf {a} \,t)^{2}/c^{2}}}}.

Rychlost částice pod vlivem konstantní síly směřuje k rychlosti světla , ale nikdy ji nepřekročí. V nerelativistické limitě nízkých rychlostí má závislost rychlosti na čase podobu

\mathbf {u} \approx \mathbf {u} _{0}+\mathbf {a} \,t

odpovídající klasickému rovnoměrně zrychlenému pohybu .

Trajektorie pohybu

Trajektorie rovnoměrně zrychleného pohybu v obecném případě závisí na orientaci konstantních vektorů a Po integraci rovnice získáme následující výraz: $\textstyle \mathbf {a}$ $\textstyle \mathbf {w} _{0}.$ $\textstyle \mathbf {u} (t)=d\mathbf {r} /dt$

\mathbf {r} (t)=\mathbf {r} _{0}+{\frac {\displaystyle \mathbf {a} \,c}{\displaystyle a^{2))}\,\ left({\sqrt {c^{2}+(\mathbf {w} _{0}+\mathbf {a} \,t)^{2}}}-{\sqrt {c^{2}+\ mathbf {w} _{0}^{2))}\right)+{\frac {[\mathbf {a} \times [\mathbf {w} _{0}\times \mathbf {a} ]]} {a^{2}}}\cdot \tau _{0},

kde je vektor poloměru polohy tělesa v časovém okamžiku a je vlastní čas objektu [4] : $\textstyle \mathbf {r} _{0}$ $\textstyle t=0,$ $\textstyle \tau _{0}$

\tau _{0}={\frac {c}{a}}\cdot \ln {\frac {\displaystyle {\sqrt {c^{2}+(\mathbf {w} _{0} +\mathbf {a} t)^{2}}}+at+(\mathbf {w} _{0}\mathbf {a} )/a}{\displaystyle {\sqrt {c^{2}+\mathbf {w} _{0}^{2}}}+(\mathbf {w} _{0}\mathbf {a} )/a}}.

Pokud jsou správné zrychlení a počáteční rychlost vzájemně rovnoběžné, pak je vektorový součin roven nule a výraz pro trajektorii je znatelně zjednodušen. $\textstyle \mathbf {a}$ $\textstyle \mathbf {u} _{0}$ $\textstyle [\mathbf {a} \times [\mathbf {w} _{0}\times \mathbf {a} ]]$

V tomto případě, pokud se objekt pohybuje podél osy x , je jeho světočára v rovině ( x, t ) hyperbola , proto se jednorozměrný rovnoměrně zrychlený relativistický pohyb někdy nazývá hyperbolický. $x(t)=\mathrm {const} +{\sqrt {c^{2}t^{2}+c^{4}/a^{2))}.$

Správný čas se rovná času, který uplynul na hodinách spojených s objektem, od počátečního okamžiku do časového okamžiku v pevném referenčním rámci, vzhledem k němuž je pohyb pozorován. V důsledku dilatace času vždy $\textstyle \tau _{0}$ $\textstyle t=0$ $\textstyle t$ $\textstyle \tau _{0}<t.$

V nerelativistickém limitu (malé rychlosti) dostaneme rovnici klasického rovnoměrně zrychleného pohybu : $\textstyle c\to \infty$

\mathbf {r} (t)\approx \mathbf {r} _{0}+\mathbf {u} _{0}\,t+{\frac {\mathbf {a} \,t^{2 }}{2}}.

Vlastní zrychlení

Konstantní vektor má význam běžného zrychlení v okamžité vztažné soustavě spojené se zrychlujícím se tělesem. Pokud těleso změní rychlost vzhledem ke své předchozí poloze někde v pevné vztažné soustavě, bude takový pohyb relativisticky rovnoměrně zrychlen. Z tohoto důvodu se parametr nazývá vnitřní zrychlení . Přijetím takové definice pohybu lze získat závislost rychlosti na čase bez odkazování na dynamiku, přičemž zůstaneme pouze v rámci kinematiky teorie relativity [5] . $\textstyle \mathbf {a}$ $\textstyle a\,dt',$ $\textstyle a={\textrm {const)),$ $\textstyle a$

Vlastní modul zrychlení a v jednorozměrném případě souvisí s modulem 3 zrychlení a′ = d u /d t , pozorovaným v pevném inerciálním rámci Λ s dobou souřadnic t , následovně:

a=a^{\prime }\gamma ^{3}={\frac {1}{\left(1-u^{2}/c^{2}\right)^{3/2} }}{\frac {{\textrm {d}}u}{{\textrm {d}}t)),

kde γ je Lorentzův faktor objektu, u je jeho rychlost v Λ . Pokud jsou počáteční hodnoty souřadnice a rychlosti rovné nule, pak integrací výše uvedené rovnice můžeme získat závislosti rychlosti a polohy objektu v systému Λ na čase souřadnice:

u(t)={\frac {at}{\sqrt {1+\left({\frac {at}{c}}\right)^{2}}}}=c\jméno operátora {th} \left(\operatorname {Arsh} {\frac {at}{c}}\right);

x(t)={\frac {c^{2}}{a}}\left({\sqrt {1+\left({\frac {at}{c}}\right)^{2 ))}-1\right)={\frac {c^{2}}{a}}\left(\operatorname {ch} \left(\operatorname {Arsh} {\frac {at}{c}}\ vpravo)-1\vpravo).

Závislost stejných veličin na správném čase objektu:

u(\tau )=c\jméno operátora {th} {\frac {a\tau }{c));

x(\tau )={\frac {c^{2}}{a}}\left(\operatorname {ch} {\frac {a\tau }{c}}-1\right).

Závislost správného času na čase souřadnic:

\tau (t)={\frac {c}{a}}\ln \left({\sqrt {1+\left({\frac {at}{c}}\right)^{2} ))+{\frac {at}{c}}\right)={\frac {c}{a}}\operatorname {Arsh} {\frac {at}{c}}.

Závislost souřadnicového času na správném čase:

t(\tau )={\frac {c}{a}}\jméno operátora {sh} {\frac {a\tau }{c}}.

Záření rovnoměrně urychleného náboje

Náboj e , pohybující se s konstantním vlastním zrychlením a , vyzařuje elektromagnetické vlny s výkonem (v Gaussově soustavě ). V tomto případě nedochází k radiačnímu tření [6] . $P={\frac {2e^{2}a^{2}}{3c^{3}}}$

Viz také

Poznámky

↑ Pohyb nabité částice pod úhlem, který se nerovná 0 nebo 180° k rovnoměrnému elektrickému poli, není rovnoměrně zrychlen, protože obecně řečeno, během Lorentzovy transformace se elektromagnetické pole mění, což vede ke změně síly působící na těleso v pohybující se vztažné soustavě. Jedinou výjimkou je Lorentzova transformace podél homogenního elektrického pole; v tomto případě se pole nezmění.
↑ V tomto článku jsou 3-vektory označeny přímým tučným písmem a jejich délky (v nějaké inerciální vztažné soustavě) jsou normální kurzívou.
↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Teorie pole. - 7. vydání, přepracované. — M .: Nauka , 1988. — 512 s. - (" Teoretická fyzika ", svazek II). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ Logunov A. A. Přednášky z teorie relativity a gravitace: Moderní analýza problému. - M.: "Nauka", 1987.
↑ Accelerated Motion Archived 9. srpna 2010 na Wayback Machine in Relativity
↑ Ginzburg V. L. O záření a síle radiačního tření při rovnoměrně zrychleném pohybu náboje // Uspekhi fizicheskikh nauk . - Ruská akademie věd , 1969. - T. 98 . - S. 569-585 . (Ruština)