Trajektorie

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 4. března 2019; kontroly vyžadují 12 úprav .

Trajektorie hmotného bodu je přímka v prostoru , což je množina geometrických bodů, kde můžete najít hmotný bod ve fyzikální úloze [1] . Typ trajektorie volného hmotného bodu závisí na silách působících na bod , počátečních podmínkách pohybu a na volbě vztažné soustavy a nevolná také závisí na uložených omezeních [2] .

Pojem trajektorie dává smysl i v izolaci od jakéhokoli skutečného pohybu. Trajektorie zobrazená v určitém souřadnicovém systému však sama o sobě neposkytuje informace o důvodech pohybu tělesa podél ní, dokud není provedena analýza konfigurace pole sil působících na těleso ve stejném souřadnicovém systému [ 3] .

Způsoby nastavení trajektorie

Typ trajektorie nezávisí na vlastnostech jejího průchodu hmotným bodem, proto nelze pro nastavení trajektorie použít fyzikální zákony nebo modely, ale prostředky diferenciální geometrie .

Takže trajektorie je někdy dána funkcí/funkcemi, které spojují souřadnice na linii pohybu bodu:

{\displaystyle x=x_{min}\ldots x_{max))

při pohybu v přímém směru,

y=y(x)

pro ploché pouzdro,

y=y(x)

a v hromadném případě.

z=z(x)

Zde je ale nutná vzájemná jedinečnost spojení souřadnic a absence opakovaného průchodu hmotným bodem jakýchkoliv řezů. Pokud se například těleso pohybovalo po segmentu tam a zpět, pak trajektorie je "dvojitá" (tam a zpět) čára, která bude ve výše uvedeném přístupu vynechána. Přesto je takové souřadnicové přiřazení trajektorie vhodné v mnoha jednoduchých situacích. $x_{min}$ $x_{max}$

V obecném případě je pohyb hmotného bodu v kinematice popsán závislostí vektoru poloměru na čase:

{\vec {r}}={\vec {r}}(t)

Taková závislost představuje trajektorii, která poskytuje nadbytek informací - kromě tvaru geometrické čáry nakreslené bodem, který má , můžete získat rychlost a další parametry pohybu. Úloha zahrnuje úlohu změn ve třech kartézských souřadnicích v čase: ${\vec {r}}(t)$ ${\vec {r}}(t)$

{\vec {r}}(t)=x(t){\vec {i}}+y(t){\vec {j}}+z(t){\vec {k}}

kde , , jsou orts . Zdá se, že přítomnost času zde odporuje nezávislosti trajektorie na detailech pohybu podél ní, ale ve skutečnosti, abyste trajektorii nastavili na místo ve výrazech , můžete nahradit libovolnou funkci jedna ku jedné . Libovolnost neovlivní tvar trajektorie, ale „změní“ rychlost průjezdu: například při nahrazení rychlostí se zdvojnásobí ve všech bodech trajektorie. $\vec{i}$ $\vec{j}$ $\vec{k}$ $t$ $t$ $x(t)$ $y(t)$ $z(t)$ $T(t)$ $t$ $T=2t$

Ve zvoleném referenčním systému může být křivka popsaná koncem vektoru poloměru v prostoru reprezentována jako sdružené oblouky různé křivosti , umístěné v obecném případě v protínajících se rovinách . V tomto případě je zakřivení každého oblouku určeno jeho poloměrem zakřivení (nezaměňovat s poloměrovým vektorem ), nasměrovaným na oblouk z okamžitého středu otáčení (nezaměňovat s počátkem poloměrových vektorů) , umístěný ve stejné rovině jako samotný oblouk. Přímka je považována za omezující případ křivky , jejíž poloměr křivosti lze považovat za rovný nekonečnu . ${\vec {r))$

Trajektorie a související pojmy

Zákon pohybu je závislost vektoru poloměru bodu na čase ; ${\vec {r}}(t)$
Cesta - křivočará souřadnice podél trajektorie hmotného bodu (obvykle označovaná symbolem ); $S$
Délka dráhy - délka trajektorie vypočítaná jako

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}|{\dot {\vec {r}}}(t)|dt

, kde čísla 1 a 2 označují počáteční a konečnou polohu bodu;

Posunutí - vektor z počáteční polohy bodu do konečné

\Delta {\vec {r}}={\vec {r}}(t_{2})-{\vec {r}}(t_{1})

, zatímco vždy ;

\Delta S\geq |\Delta {\vec {r}}|

Poloměr zakřivení je poloměr kruhového oblouku, který nejlépe aproximuje trajektorii v daném bodě.

Rychlost hmotného bodu je vždy směrována tečně k oblouku použitému k popisu trajektorie. V tomto případě existuje vztah mezi velikostí rychlosti , normálním zrychlením a poloměrem zakřivení trajektorie v konkrétním geometrickém bodě: $proti$ $a_n$ $R$

a_{n}={\frac {v^{2}}{R}}

Ne každý pohyb se známou rychlostí po křivce známého poloměru a normálovým (dostředivým) zrychlením zjištěným pomocí výše uvedeného vzorce je spojen s projevem síly směřující podél normály k trajektorii ( dostředivá síla ). Zrychlení kterékoli z hvězd nalezených na fotografiích denního pohybu svítidel tedy vůbec nenaznačuje existenci síly, která toto zrychlení způsobuje a přitahuje ji k Polární hvězdě jako středu rotace.

Trajektorie a rovnice dynamiky

Zobrazení trajektorie jako stopy zanechané pohybem hmotného bodu spojuje čistě kinematické pojetí trajektorie, jako geometrického problému, s dynamikou pohybu hmotného bodu, tedy problémem určování příčin. jeho pohybu. Ve skutečnosti řešení Newtonových rovnic (za přítomnosti úplného souboru počátečních dat) udává trajektorii hmotného bodu.

Pohyb volného hmotného bodu

Podle prvního Newtonova zákona , někdy nazývaného zákonem setrvačnosti , musí existovat takový systém, ve kterém si volné těleso zachovává (jako vektor) svou rychlost. Taková vztažná soustava se nazývá inerciální . Trajektorie takového pohybu je přímka a samotný pohyb se nazývá rovnoměrný a přímočarý.

Pohyb při působení vnějších sil

v inerciální vztažné soustavě

Pokud se v inerciální soustavě rychlost objektu ( pro pozorovatele stojícího v tomto snímku ) s hmotností změní směr, i když velikost zůstane stejná, to znamená, že se těleso otočí a pohybuje se po oblouku o poloměru zakřivení , pak toto tělo zažije normální zrychlení . Důvodem tohoto zrychlení je dostředivá síla, která je přímo úměrná tomuto zrychlení. Toto je podstata druhého Newtonova zákona : $\vec{v}$ $m$ $R$ $a_n$

{\vec F}=m{\vec a}_{n}

kde je vektorový součet sil působících na těleso, je jeho zrychlení a je setrvačná hmotnost [4] . ${\vec F}$ ${\vec a}_{n}$ $m$

V obecném případě se tělo nemůže volně pohybovat a jsou omezena jeho poloha a v některých případech i rychlost , - omezení . Pokud vazby ukládají omezení pouze na souřadnice těla, pak se takové vazby nazývají geometrické. Pokud se také šíří rychlostí, pak se nazývají kinematické. Pokud lze rovnici omezení integrovat v průběhu času, pak se takové omezení nazývá holonomické .

Působení vazeb na soustavu pohybujících se těles popisují síly zvané reakce vazeb. V tomto případě je síla zahrnutá do levé strany vyjádření Newtonova zákona vektorovým součtem aktivních (vnějších) sil a reakce vazeb.

Je nezbytné, aby v případě holonomických omezení bylo možné popsat pohyb mechanických systémů ve zobecněných souřadnicích , zahrnutých v Lagrangeových rovnicích . Počet těchto rovnic závisí pouze na počtu stupňů volnosti soustavy a nezávisí na počtu těles obsažených v soustavě, jejichž polohu je nutné pro úplný popis pohybu určit.

Pokud jsou vazby působící v systému ideální , to znamená, že nepřenášejí energii pohybu do jiných typů energie, pak jsou při řešení Lagrangeových rovnic všechny neznámé reakce vazeb automaticky vyloučeny.

Konečně, pokud působící síly patří do třídy potenciálních sil , pak je při vhodném zobecnění pojmů možné použít Lagrangeovy rovnice nejen v mechanice, ale i v jiných oblastech fyziky. [5]

Síly působící na hmotný bod v tomto chápání jednoznačně určují tvar trajektorie jeho pohybu (za známých počátečních podmínek). Opačné tvrzení je obecně nespravedlivé, protože stejná trajektorie může probíhat s různými kombinacemi aktivních sil a vazebných reakcí.

v neinerciální vztažné soustavě

Pokud je vztažná soustava neinerciální (to znamená, že se vůči inerciální vztažné soustavě pohybuje s určitým zrychlením), pak je v ní možné použít i Newtonův zákon, nicméně na levé straně je nutné vzít zohlednit tzv. setrvačné síly (včetně odstředivé síly a Coriolisovy síly spojené s rotací neinerciální vztažné soustavy) [4] .

Význam volby referenčního rámce

Vyjasnění „vazby“ trajektorie na volbu souřadnicového systému je zásadní, protože na této volbě závisí tvar trajektorie [6] . Kvalitativní a kvantitativní rozdíly v trajektoriích také vznikají mezi inerciálními systémy, a pokud jeden nebo oba systémy jsou neinerciální.

Pozorovatelnost trajektorie

Je možné pozorovat trajektorii, když je objekt nehybný, ale když se referenční soustava pohybuje. Hvězdná obloha tak může sloužit jako dobrý model pro inerciální a pevnou vztažnou soustavu. Při dlouhých expozicích se však zdá, že se tyto hvězdy pohybují po kruhových drahách.

Je možný i opačný případ, kdy se těleso zřetelně pohybuje, ale trajektorie v průmětu do pozorovací roviny je jeden pevný bod. Jde například o případ, kdy kulka letí přímo do oka pozorovatele nebo odjíždí vlak.

Úprava tvaru trajektorie

Často se ukazuje, že tvar trajektorie závisí na referenčním systému zvoleném pro popis pohybu hmotného bodu radikálním způsobem. Tedy přímočarý rovnoměrně zrychlený pohyb (řekněme volný pád) v jedné inerciální soustavě bude obecně parabolický v jiné rovnoměrně se pohybující inerciální vztažné soustavě (viz obr.).

V souladu s Galileovým principem relativity existuje nekonečný počet stejných inerciálních soustav (ISO), jejichž pohyb vůči sobě nelze žádným způsobem stanovit pozorováním jakýchkoli procesů a jevů vyskytujících se pouze v těchto systémech. Přímá trajektorie rovnoměrného pohybu objektu v jednom snímku bude také vypadat jako přímka v jakékoli jiné inerciální soustavě, ačkoli velikost a směr rychlosti bude záviset na volbě systému, tedy na velikosti a směr jejich relativní rychlosti.

Princip Galileo však neuvádí , že stejný jev pozorovaný ze dvou různých ISO bude vypadat stejně. Obrázek proto varuje před dvěma typickými chybami spojenými se zapomínáním, že:

1. Platí, že libovolný vektor (včetně vektoru síly) lze rozložit minimálně na dvě složky. Ale tento rozklad je zcela libovolný a neznamená, že takové složky skutečně existují. Pro potvrzení jejich skutečnosti by měly být zahrnuty další informace , v žádném případě ne převzaté z analýzy tvaru trajektorie. Například z obrázku 2 není možné určit povahu síly F, stejně jako nelze tvrdit, že samotná je nebo není součtem sil různé povahy. Lze pouze namítnout, že je ve znázorněném řezu konstantní a že křivočarost trajektorie pozorované v daném FR je tvořena dostředivou částí této síly, v daném FR zcela definovanou. Při znalosti pouze trajektorie hmotného bodu v jakékoli inerciální vztažné soustavě a jeho rychlosti v každém časovém okamžiku je nemožné určit povahu sil, které na něj působí.

2. I v případě pozorování z IFR bude tvar trajektorie zrychleného pohybujícího se tělesa dán nejen silami na něj působícími, ale i volbou tohoto IFR, která tyto síly neovlivňuje v tak jako tak. Dostředivá síla zobrazená na obrázku 2 je získána formálně a její hodnota přímo závisí na volbě ISO.

Příklad pro rotační systém

Představte si divadelníka, který se pohybuje v prostoru roštu nad jevištěm vzhledem k budově divadla rovnoměrně a přímočaře a přenáší přes rotující jeviště děravý kbelík s barvou . Zanechá na něm stopu padající barvy v podobě odvíjející se spirály (pokud se pohybuje ze středu rotace scény) a kroucení – v opačném případě. V tuto dobu bude tedy jeho kolega, který zodpovídá za čistotu otočného stupně a je na něm, nucen nosit netěsnící kbelík pod prvním, neustále pod prvním. A jeho pohyb ve vztahu k budově bude také rovnoměrný a přímočarý , i když ve vztahu k jevišti, které je neinerciální soustavou , bude jeho pohyb zakřivený a nerovnoměrný . Navíc, aby čelil driftu ve směru rotace, musí násilně překonat účinek Coriolisovy síly , kterou jeho horní protějšek nad jevištěm nepociťuje, ačkoli trajektorie obou v inerciálním systému divadelní budovy budou představovat rovné čáry .

Lze si však představit, že úkolem zde zvažovaných kolegů je přesně nakreslit přímku na otočném stolku . V tomto případě by spodní část měla vyžadovat, aby se horní část pohybovala po křivce, která je zrcadlovým obrazem stopy z dříve rozlité barvy, přičemž by měla zůstat nad jakýmkoli bodem přímky procházející zvoleným radiálním směrem. Proto přímočarý pohyb v neinerciální vztažné soustavě nebude takový pro pozorovatele v inerciální soustavě .

Navíc rovnoměrný pohyb tělesa v jednom systému může být v jiném nerovnoměrný . Dvě kapky barvy, které spadly v různých okamžicích z děravého kbelíku, a to jak ve svém vlastním vztažném rámci, tak v rámu spodního kolegu nepohyblivého vůči budově (na jevišti, které se již přestalo otáčet), budou pohybovat se v přímce (směrem ke středu Země). Rozdíl bude v tom, že pro nižšího pozorovatele bude tento pohyb zrychlený a pro jeho horního kolegu, pokud klopýtne a spadne a pohybuje se spolu s kteroukoli z kapek, vzdálenost mezi kapkami se zvětší úměrně k první mocnině času . , tedy vzájemné pohybové kapky a jejich pozorovatel v jeho zrychleném souřadném systému bude rovnoměrný s rychlostí určenou prodlevou mezi okamžiky padajících kapek; kde je zrychlení volného pádu . $v=g\Delta t$ $\Delta t$ $G$

Proto tvar trajektorie a rychlost těla podél ní, uvažovaná v určitém referenčním rámci, o kterém není nic známo předem , nedává jednoznačnou představu o silách působících na tělo. O tom, zda je tato soustava dostatečně inerciální, lze rozhodnout pouze na základě rozboru příčin vzniku působících sil.

V neinerciální soustavě je tedy zaprvé zakřivení trajektorie a/nebo nekonzistence rychlosti nedostatečným argumentem ve prospěch tvrzení, že vnější síly působí na těleso pohybující se po něm, což v konečném případě může lze vysvětlit gravitačními nebo elektromagnetickými poli a za druhé, přímost trajektorie je nedostatečným argumentem ve prospěch tvrzení, že na těleso pohybující se po ní nepůsobí žádné síly.

Pohyb bez traktoru

Podle kvantově mechanických koncepcí by se ve vztahu k pohybu mikročástice (elektronové nebo jiné) v omezeném prostoru nemělo mluvit o trajektorii , ale o vývoji hustoty pravděpodobnosti k detekci částice v daném bodě . Tato hustota pravděpodobnosti je charakterizována [7] druhou mocninou modulu vlnové funkce . Závislost na jeho argumentech je určena pomocí Schrödingerovy rovnice . S vlnovou funkcí můžete najít polohu "centroidu", která se mění v čase (integrace - po celém objemu přístupném částici). V limitu, kdy je de Broglieho vlnová délka částice nesrovnatelně menší než velikost prostorové oblasti pohybu, se tento přístup stává ekvivalentním obvyklému výpočtu trajektorie. ${\vec {r}}(t)$ ${\vec {r))$ $|\psi ({\vec {r}},t)|^{2}$ $\psi$ $<{\vec {r}}(t)>=\int {\vec {r}}|\psi ({\vec {r}},t)|^{2}dV$

Viz také

Složený pohyb

Poznámky

↑ Pojem trajektorie lze celkem názorně ilustrovat na bobové dráze (pokud lze podle podmínek problému zanedbat její šířku). A je to dráha, ne fazole samotná .
↑ Fyzický encyklopedický slovník, článek Trajektorie , str. 764 / kap. vyd. A. M. Prochorov - M .: Sovětská encyklopedie (1984).
↑ Ulice, na jejímž začátku visí nápis „cihla“, tedy v zásadě zůstane trajektorií pohybu po ní. A vlaky různých hmotností, pohybující se pod různými tažnými silami na spojovacích hácích lokomotiv, a tedy různými rychlostmi, se budou pohybovat po stejné trajektorii, určené tvarem kolejnice, což vnucuje specifické spojení pohybu nesvobodného těleso (vlak) , jehož intenzita bude v každém případě jiná
↑ 1 2 S. E. Khaikin . Síly setrvačnosti a beztíže. M., 1967. Vědecké nakladatelství. Hlavní vydání fyzikální a matematické literatury.
↑ Fyzikální encyklopedický slovník / Ch. vyd. A. M. Prochorov. Red.col. D. M. Alekseev, A. M. Bonch-Bruevich, A. S. Borovik-Romanov a kol . strana 282.
↑ Měsíc tedy obíhá kolem Země pouze v referenční soustavě spojené s jejich společným těžištěm (umístěným uvnitř zeměkoule). V referenční soustavě, jejímž počátkem je Slunce, Měsíc obíhá kolem něj po stejné eliptické dráze jako Země, ale s periodickými odchylkami od ní o vzdálenost Měsíce od Země. K vzájemnému oběhu těchto nebeských těles v tomto případě prostě nedochází. Přítomnost gravitace k vysvětlení tvaru trajektorie Měsíce v souřadnicovém systému spojeném se Sluncem není vůbec nutná. Pokud by tedy Země zmizela, Měsíc by se mohl nadále pohybovat jako nezávislé nebeské těleso po stejné staré trajektorii a jeho periodické poruchy by pak mohly být, jako hypotéza, vysvětleny změnou gravitační síly, řekněme, kvůli kolísání hmotnosti Slunce v důsledku jeho pulzační svítivosti (která je mimochodem skutečně pozorována v určitých mezích). A obě zmíněné formy trajektorie jsou pravdivé a obě vysvětlení jejich podoby na základě správně provedeného rozboru působících sil jsou spravedlivá. Ale vylučují se navzájem, stejně jako je vyloučena možnost současného zohledňování při volbě toho či onoho souřadnicového systému.
↑ D. V. Galcov. vlnová funkce . BDT (2004). Staženo: 10. srpna 2022. (neurčitý)

Ve fyzice existuje jiný vzorec pro měření trajektorie (dráhy): s=4Atv, kde A je amplituda, t je čas, v je frekvence kmitů.

Literatura

Newton I. Matematické principy přírodní filozofie. Za. a cca. A. N. Krylová. Moskva: Nauka, 1989
Frish S. A. a Timoreva A. V. Kurz obecné fyziky, Učebnice pro katedry fyziky, matematiky a fyziky a technologie státních univerzit, svazek I. M .: GITTL, 1957

Odkazy

Vektor trajektorie a posunutí, část učebnice fyziky

mechanický pohyb
referenční systém	inerciální vztažná soustava Neinerciální vztažná soustava Složený pohyb Princip relativity
Materiální bod	Jednotný pohyb Přímočarý pohyb Pohybová rovnice Pohybové rovnice v neinerciální vztažné soustavě Trajektorie (cesta) pohybující se Rychlost Zrychlení ( centripetální zrychlení tečné zrychlení ) pomlčka
Fyzické tělo	translační pohyb Rovinně-paralelní pohyb ( paralelní překlad ) Kulový pohyb ( Rotační pohyb Kruhový pohyb Precese nutace )
kontinuum	laminární proudění turbulentní proudění
Související pojmy	Plán rychlosti Trakce vlaku Šest stupňů volnosti