Repunites

Repunits ( angl. repunit , z opakované jednotky - opakovaná jednotka) [1] - přirozená čísla , jejichž záznam v základní číselné soustavě tvoří jedna jednotka. V desítkové soustavě čísel se repunity označují : , atd . a obecná forma pro ně je: $R(b,n)$ $b > 1$ $R_n$ $R_{1}=1$ $R_{2}=11$ $R_{3}=111$

R_{n}={\frac {10^{n}-1}{9)),\quad n=1,2,3,\ldots

Repunits jsou speciální případ repdigits .

Faktorizace desetinných repunit

(Čísla v faktorizacích zbarvená hnědě znamenají, že se jedná o nová prvočísla v faktorizacích R n , která nedělí R k pro všechna k < n [2] )

R1 = _	jeden
R2 = _	jedenáct
R3 = _	3 37 _
R4 = _	11 101
R5 = _	41 271 _
R6 = _	3 7 11 13 37
R7 = _	239 4649 _
R8 = _	11 73 101 137
R9 = _	3 2 37 333667
R10 = _	11 41 271 9091

R11 = _	21649 513239 _
R12 = _	3 7 11 13 37 101 9901
R13 = _	53 79 265371653 _ _
R14 = _	11 239 4649 909091
R15 = _	3 31 37 41 271 2906161
R16 = _	11 17 73 101 137 5882353
R17 = _	2071723 5363222357 _
R18 = _	3 2 7 11 13 19 37 52579 333667
R19 = _	111111111111111111
R20 = _	11 41 101 271 3541 9091 27961

R21 = _	3 37 43 239 1933 4649 10838689
R22 = _	11 2 23 4093 8779 21649 513239 _ _
R23 = _	1111111111111111111111
R24 = _	3 7 11 13 37 73 101 137 9901 99990001
R25 = _	41 271 21401 25601 182521213001 _
R26 = _	11 53 79 859 265371653 1058313049
R27 = _	3 3 37 757 333667 440334654777631
R28 = _	11 29 101 239 281 4649 909091 121499449
R29 = _	3191 16763 43037 62003 77843839397 _ _ _ _
R30 = _	3 7 11 13 31 37 41 211 241 271 2161 9091 2906161

Vlastnosti

Pro rok 2022 je známo pouze 11 jednoduchých repunit pro n rovné [3] : $R_n$

2 , 19 , 23 , 317 , 1031, 49081, 86453, 109297, 270343, 5794777, 8177207 ( sekvence OEIS A004023 ) Je zřejmé, že prvočísla jsou také prvočísla.

Násobením s , se získá palindromické číslo ve tvaru číslic s číslicí uprostřed. $R_{i}\cdot R_{j}$ $9\geq i\geq j$ $(12\ldots j\ldots 21)$ $i+j-1$ $j$
Repunit 11 111 111 111 111 111 111 je samo vygenerované číslo .
Každý kladný násobek reputace obsahuje alespoň n nenulových číslic. $R_n$
Repunit jako součet po sobě jdoucích čtverců. Číslo 1111 lze znázornit jako součet druhých mocnin několika po sobě jdoucích přirozených čísel: . Je zřejmé, že jednotka tuto podmínku také splňuje. Neexistují žádné další takové reputace do délky 251 včetně. $1111=\sum \limits _{{n=11}}^{{16}}n^{2}$

V kultuře

Asteroid (11111) Repunit je pojmenován po Repunites , jehož sériové číslo je . $R_{5}$

Poznámky

↑ Karpushina, 2013 , s. 134.
↑ OEIS sekvence A102380 _
↑ OEIS sekvence A004023 _

Literatura

Yates S. Mystika repunitů - Math. Mag., 1978, 51, 22-28.
Yeats S. Repunites a desetinná období - svět, 1992.
Kordemsky B. Hodina do rodiny repunites // Kvant . - 1997. - č. 5 . - S. 28-29 .
N. M. Karpushina. Mimo formát. Zábavná matematika: gymnastika pro mysl nebo umění překvapení?. - M . : ANO Redakce časopisu "Věda a život", 2013. - S. 115, 132-149. — 288 s. - ISBN 978-5-904129-07-1 .