Hilbertova řada a Hilbertův polynom

Hilbertova funkce , Hilbertova řada a Hilbertův polynom odstupňované komutativní algebry definitivně generované přes pole jsou tři úzce související pojmy, které umožňují měřit růst rozměru homogenních složek algebry.

Tyto pojmy byly rozšířeny na filtrované algebry a stupňované nebo filtrované moduly přes tyto algebry, stejně jako na koherentní svazky přes projektivní schémata.

Tyto termíny se často používají v následujících situacích:

Faktor polynomického kruhu vzhledem k homogennímu ideálu , odstupňovaný plnou mocninou.
Faktor polynomického kruhu ideálem, filtrovaný plnou mocninou.
Filtrování místního prstence podle stupňů jeho maximálního ideálu .

Hilbertův polynom a Hilbertova řada hrají důležitou roli ve výpočetní algebraické geometrii , protože poskytují nejjednodušší známý způsob výpočtu rozměru a míry algebraické rozmanitosti dané explicitními polynomiálními rovnicemi.

Definice a základní vlastnosti

Uvažujme konečně generovanou stupňovitou komutativní algebru S nad polem K , což je konečně generovaný prvek kladného stupně. Znamená to, že

S=\bigoplus _{i\geq 0}S_{i}\

a co . $S_{0}=K$

Hilbertova funkce

{\displaystyle HF_{S}\;:\;n\mapsto \dim _{K}\,S_{n))

vezme celé číslo n do rozměru vektorového prostoru S n nad polem K . Hilbertova řada , která se v obecnější situaci stupňovaných vektorových prostorů nazývá Hilbert-Poincaré řada, je formální řada

HS_{S}(t)=\sum _{n=0}^{\infty }HF_{S}(n)\,t^{n}.

Jestliže S je generováno h homogenními prvky kladných stupňů , pak součet Hilbertovy řady je racionální funkcí ${\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{h))$

HS_{S}(t)={\frac {Q(t)}{\prod _{i=1}^{h}(1-t^{d_{i))))}}\, ,

kde Q je polynom s celočíselnými koeficienty.

Pokud je S generováno prvky stupně 1, pak lze součet Hilbertovy řady přepsat jako

HS_{S}(t)={\frac {P(t)}{(1-t)^{\delta }}}\,,

kde P je polynom s celočíselnými koeficienty a je Krullova dimenze S . $\delta$

V tomto případě má řadový rozvoj této racionální funkce tvar

HS_{S}(t)=P(t)\,\left(1+\delta \,t+\cdots +{\binom {n+\delta -1}{\delta -1))\,t ^{n}+\cdots\right)

kde binomický koeficient je roven at a jinak nula. ${\binom {n+\delta -1}{\delta -1))$ $\;{\frac {(n+\delta -1)(n+\delta -2)\cdots (n+1)}{(\delta -1)!}}\;$ $n>-\delta$

Jestliže pak koeficient at in je $\textstyle P(t)=\sum _{i=0}^{d}a_{i}t^{i},$ $t^{n}$ $HS_{S}(t)$

HF_{S}(n)=\sum _{i=0}^{d}a_{i}{\binom {n-i+\delta -1}{\delta -1))\,.

Pro člen s indexem i v tomto součtu je polynom ve stupni n s vedoucím koeficientem , což ukazuje, že existuje jediný polynom s racionálními koeficienty, který je stejný pro dostatečně velké n . Tento polynom se nazývá Hilbertův polynom a má tvar $n\geq i-\delta +1$ $\delta -1$ $a_{i}/(\delta -1)!.$ $HP_{S}(n)$ $HF_{S}(n)$

HP_{S}(n)={\frac {P(1)}{(\delta -1)!}}\,n^{\delta -1}+{}{\text{podmínky nižší stupeň v}}n.

Hilbertův polynom je integrální polynom , protože rozměry jsou celá čísla, ale téměř nikdy nemá celočíselné koeficienty.

Všechny tyto definice lze rozšířit na definitivně generované odstupňované moduly přes S .

Hilbertova funkce , Hilbertova řada a filtrovaná algebra Hilbertův polynom jsou počítány pro sdruženou stupňovitou algebru.

Hilbertův polynom projektivní variety V v P n je definován jako Hilbertův polynom homogenního souřadnicového kruhu V .

Stupňované algebry a polynomiální okruhy

Polynomiální okruhy a jejich faktory s ohledem na homogenní ideály jsou typické stupňovité algebry. Naopak, jestliže S je stupňovaná algebra nad polem K generovaným n homogenními prvky g 1 , ..., g n stupně 1, pak zobrazení, které mapuje X i až g i , definuje stupňovitý kruhový homomorfismus od na S . Jeho jádro je homogenní ideál I , a to definuje izomorfismus stupňovaných algeber mezi a S . $R_{n}=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ $R_{n}/I$

Stupňované algebry generované homogenními prvky stupně 1 jsou tedy přesně faktory polynomiálních okruhů s ohledem na homogenní ideály (až do izomorfismu). Proto v následujících částech tohoto článku budeme uvažovat faktory polynomiálních kruhů s ohledem na ideály.

Vlastnosti Hilbertovy řady

Aditivita

Hilbertova řada a Hilbertův polynom jsou aditivní v přesných sekvencích . Přesněji, pokud

0\;\rightarrow \;A\;\rightarrow \;B\;\rightarrow \;C\;\rightarrow \;0

je přesná sekvence odstupňovaných nebo filtrovaných modulů, pak máme

HS_{B}=HS_{A}+HS_{C}

HP_{B}=HP_{A}+HP_{C}.

To okamžitě vyplývá z podobné vlastnosti pro rozměry vektorových prostorů.

Faktor nad prvkem, který není nulovým dělitelem

Nechť A je stupňovaná algebra af je homogenní prvek stupně A stupně d , který není nulovým dělitelem . Pak máme

HS_{A/(f)}(t)=(1-t^{d})\,HS_{A}(t)\,.

To vyplývá z aditiva pro přesnou sekvenci

0\;\rightarrow \;A^{[d]}\;{\xarrowarrow {f))\;A\;\rightarrow \;A/f\rightarrow \;0\,,

kde šipka f je násobení f a je to odstupňovaný modul získaný z A posunutím mocnin o d tak, že násobení f má stupeň 0. Konkrétně, $A^{[d]}$ $HS_{A^{[d]}}(t)=t^{d}\,HS_{A}(t)\,.$

Hilbertova řada a Hilbertův polynom okruhu polynomů

Hilbertova řada kruhu polynomů v proměnných je $R_{n}=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ $n$

HS_{R_{n}}(t)={\frac {1}{(1-t)^{n}}}\,.

Z toho vyplývá, že Hilbertův polynom je roven

HP_{R_{n}}(k)={{k+n-1} \choose {n-1}}={\frac {(k+1)\cdots (k+n-1)} {(n-1)!}}\,.

Důkaz, že Hilbertova řada má tento tvar, získáme indukcí aplikací předchozího vzorce pro faktor na prvek, který není nulovým dělitelem (v našem případě nad ) a ze skutečnosti, že $x_{n}$ $HS_{K}(t)=1\,.$

Typ řady Hilbert a rozměr

Stupňovaná algebra A generovaná homogenními prvky stupně 1 má Krullův rozměr 0, když maximální homogenní ideál, tj. ideál generovaný homogenními prvky stupně 1, je nilpotentní . Z toho vyplývá, že dimenze A jako vektorového prostoru nad K je konečná a že Hilbertova řada A je polynom P ( t ) takový, že P (1) se rovná dimenzi A jako vektorového prostoru nad K .

Je-li Krullova dimenze A kladná, pak existuje homogenní prvek f stupně 1, který není nulovým dělitelem (ve skutečnosti jsou téměř všechny prvky stupně 1). Krullův rozměr A / (f) se rovná Krullově rozměru A mínus jedna.

Z aditivity řady Hilbert vyplývá, že . Iterací této dimenze A krát získáme algebru dimenze 0, jejíž Hilbertova řada je polynom P ( t ) . To ukazuje, že Hilbertova řada A je $HS_{A/(f)}(t)=(1-t)\,HS_{A}(t)$

{\displaystyle HS_{A}(t)={\frac {P(t)}{(1-t)^{d))))

kde polynom P ( t ) je takový, že P (1) ≠ 0 ad je Krullova dimenze algebry A .

Z tohoto vzorce pro Hilbertovu řadu vyplývá, že stupeň Hilbertova polynomu je d a jeho vedoucí koeficient je . ${\frac {P(1)}{d!}}$

Stupeň projektivní variety a Bézoutova věta

Hilbertova řada umožňuje vypočítat stupeň algebraické variety jako hodnotu v 1 čitatele Hilbertovy řady. To také poskytuje snadný důkaz Bezoutovy věty.

Uvažujme projektivní algebraickou množinu V rozměru větší než nula, definovanou jako množinu nul homogenního ideálu , kde k je pole, a nechť . Jestliže f je homogenní polynom stupně , který není nulovým dělitelem v R , přesná posloupnost $I\subset k[x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}]$ $R=k[x_{0},\ldots ,x_{n}]/I$ $\delta$

0\;\rightarrow \;R^{[\delta ]}\;{\xarrowarrow {f))\;R\;\rightarrow \;R/\langle f\rangle \;\rightarrow \;0 ,

ukázat to

HS_{R/\langle f\rangle }(t)=(1-t^{\delta })HS_{R}(t).

Vzhledem k čitatelům získáme důkaz následujícího zobecnění Bezoutovy věty:

Jestliže f je homogenní polynom stupně , který není nulovým dělitelem v R , pak stupeň průniku V s nadplochou definovanou f je roven součinu stupně V by . $\delta$ $\delta$

Geometricky to lze přeformulovat následovně: jestliže projektivní hyperplocha stupně d neobsahuje žádné ireducibilní složky algebraické množiny stupně δ , pak stupeň jejich průniku je dδ .

Z tohoto tvrzení lze snadno odvodit obvyklou Bézoutovu větu, pokud se začíná hyperplochou a postupně ji protíná s n - 1 dalšími hyperplochami.

Literatura

Eisenbud, David . Komutativní algebra. S pohledem na algebraickou geometrii, Graduate Texts in Mathematics, 150, New York: Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8 .
Schenck, Hal . Computational Algebraic Geometry, Cambridge: Cambridge University Press, 2003, ISBN 978-0-521-53650-9 .
Stanley, Richard . "Hilbertovy funkce stupňovaných algeber", Advances in Math., 28(1), pp. 57–83, 1978.