Liouvilleova-Neumannova řada v integrálním počtu je nekonečná řada odpovídající řešení Fredholmovy integrální rovnice se spojitým malým jádrem. Pojmenovaný po Josephu Liouville a Carl Neumann .
Budeme hledat řešení Fredholmovy rovnice
metoda postupných aproximací , nastavení :
Poslední výraz ve vzorci je operátorový zápis integrálu. Následující rovnost je ověřena metodou matematické indukce :
Funkce se nazývají iterace . Lze ukázat, že všechny iterace jsou spojité a omezené na :
kde je míra množiny a .
Z tohoto odhadu vyplývá, že řada
volal Liouville-Neumann série , ovládaná číselnými řadami
konvergující v kruhu , takže pro takové Liouville-Neumannovy řady konvergují pravidelně ( absolutně a rovnoměrně ). To znamená, že po sobě jdoucí aproximace na jednotně inklinují k požadované funkci .