Série Liouville-Neumann

Liouvilleova-Neumannova řada v integrálním počtu je nekonečná řada odpovídající řešení Fredholmovy integrální rovnice se spojitým malým jádrem. Pojmenovaný po Josephu Liouville a Carl Neumann .

Získání řádku

Budeme hledat řešení Fredholmovy rovnice

u(x)=\lambda \int \limits _{G}K(x,\;y)u(y)\,dy+f(x)

metoda postupných aproximací , nastavení : $u^{(0)}(x)=f(x)$

u^{(p)}(x)=\lambda \int \limits _{G}K(x,\;y)u^{(p-1)}(y)\,dy+f( x)=\lambda (Ku^{(p-1)})(x)+f(x),\quad p=1,\;2,\;\ldots

Poslední výraz ve vzorci je operátorový zápis integrálu. Následující rovnost je ověřena metodou matematické indukce :

u^{(p)}=\sum _{k=0}^{p}\lambda ^{k}(K^{k}f)(x),\quad p=0,\;1 ,\;\ldots

Funkce se nazývají iterace . Lze ukázat, že všechny iterace jsou spojité a omezené na : $(K^{p}f)(x)$ $G$

\|K^{p}f\|_{C}=\|K(K^{p-1}f)\|_{C}\leqslant M\mathrm {mes} \,G\| K^{p-1}f\|_{C}\leqslant \ldots \leqslant (M\mathrm {mes} \,G)^{p}\|f\|_{C},\quad p=0 ,\;1,\;\ldots ,

kde je míra množiny a . $\mathrm {mes} \,G$ $G$ $M=\max _{G}|K(x,\;y)|$

Z tohoto odhadu vyplývá, že řada

\sum _{k=0}^{\infty }\lambda ^{k}(K^{k}f)(x),\quad x\in G,

volal Liouville-Neumann série , ovládaná číselnými řadami

\|f\|_{C}\sum _{k=0}^{\infty }|\lambda |^{k}(M\mathrm {mes} \,G)^{k}={ \frac {\|f\|_{C}}{1-|\lambda |M\mathrm {mes} \,G)),

konvergující v kruhu , takže pro takové Liouville-Neumannovy řady konvergují pravidelně ( absolutně a rovnoměrně ). To znamená, že po sobě jdoucí aproximace na jednotně inklinují k požadované funkci . $|\lambda |<1/(M\mathrm {mes} \,G)$ $\lambda$ $u^{(p)}(x)$ $p\to \infty$ $u(x)$

Viz také

Literatura

Vladimirov V. S. , Zharinov V. V. Rovnice matematické fyziky. - M. : Fizmatlit, 2004. - ISBN 5-9221-0310-5 . .