Bifurkace sedlového uzlu

V teorii dynamických systémů je bifurkace sedlového uzlu místní bifurkace , ve které se dvojice singulárních bodů ( stabilní a nestabilní ) spojí do polostabilního singulárního bodu (sedlového uzlu), který poté zmizí. Jediná bifurkace, která se vyskytuje v typických jednoparametrových rodinách vektorových polí na řádku neodstranitelným způsobem (tj. je typická bifurkace kodimenze 1 ).

Normální forma

animace

Uvažujme vektorové pole na přímce, která má singulární bod. Pokud je singulární bod nedegenerovaný ( derivace vektorového pole v něm je jiná než 0), je podle věty o implicitní funkci zachován i při malých poruchách a nedochází k bifurkaci. Tedy nejjednodušší případ, zajímavý z hlediska teorie bifurkace: první derivace je rovna nule. Typicky je druhá derivace nenulová. Rozšířením vektorového pole do Taylorovy řady a změnou souřadnicového systému v případě potřeby můžeme předpokládat, že koeficient at je roven -1. V tomto případě má vektorové pole tvar: $x^{2}$

{\dot {x}}=-x^{2}+o(x^{2}).\quad \quad (1)

Protože singulární bod je degenerovaný, vektorové pole (1) není strukturálně stabilní : libovolně malá porucha může singulární bod zničit nebo jej „rozdělit“ na dva. Ukazuje se, že jakákoli nedegenerovaná malá porucha tohoto vektorového pole v okolí singulárního bodu 0 je (topologicky) ekvivalentní rodině s jedním parametrem

{\dot {x}}=\varepsilon -x^{2}\quad \quad (2)

Jinými slovy, tato rodina bude pro rovnici (1) versální deformací . Rodina (2) je normální formou bifurkace sedlového uzlu.

Bifurkační scénář

Zvažte rodinu (2). Jsou možné tři případy:

Pro , vektorové pole má dva singulární body: . Jedna z nich ( ) je stabilní, druhá ( ) je nestabilní. $\varepsilon >0$ $x=\pm {\sqrt {\varepsilon ))$ $x=+{\sqrt {\varepsilon ))$ $x=-{\sqrt {\varepsilon ))$
Pro vektorové pole má jedinečný semistabilní nehyperbolický singulární bod 0. $\varepsilon=0$
Pro , vektorové pole nemá žádné singulární body. $\varepsilon <0$

Bifurkaci sedlového uzlu lze tedy popsat jako proces zrodu semistabilního singulárního bodu a jeho následného rozpadu ve stabilní a nestabilní, nebo naopak jako proces slučování stabilního a nestabilního singulárního bodu. bod do polostabilního s jeho následným zánikem.

Uvažujeme-li dvourozměrný fázový prostor a do rovnice (2) přidáme rovnici , pro , singulární bod bude stabilní uzel a singulární bod bude sedlo . Sloučením v , tvoří singulární bod s jednou nulovou a jednou nenulovou vlastní hodnotou , tedy sedlový uzel . To vysvětluje název bifurkace. ${\tečka {y}}=-y$ $\varepsilon >0$ $({\sqrt {\varepsilon )),0)$ $(-{\sqrt {\varepsilon )),0)$ $\varepsilon=0$

Literatura

D. Wang, C. Lee, Sh.-N. Žrádlo. Normální formy a bifurkace vektorových polí v rovině. - M. : MTSNMO, 2005. - 416 s. — ISBN 5-94057-206-5 .