Pekelná rodinka

Hellyho rodina řádu k je rodina množin s vlastností, že každá minimální podrodina s prázdným průnikem má k nebo méně množin. Ekvivalentně každá konečná podrodina s vlastností, že jakýkoli průsečík k množin je neprázdný, má neprázdný společný průnik [1] .

O rodině k se říká, že je Helle , pokud jde o rodinu Helly řádu k [2] . Koncept byl pojmenován po matematikovi Edwardu Hellym (1884-1943). Hellyho teorém o konvexních množinách , který podnítil zavedení konceptu, uvádí, že konvexní množiny v euklidovském prostoru dimenze n jsou Hellyho rodinou řádu n  + 1 [1] . Číslo k se často vynechává, když se diskutuje o případu k  = 2.

Příklady

Formální definice

Formálněji je Hellyho rodina řádu k rodinou množin ( F ,  E ), kde F je množina podmnožin E s vlastností, že pro libovolnou konečnou množinu G ⊆ F ,

můžeme najít množinu H ⊆ G takovou, že

a

[jeden]

V některých případech je stejná definice zvažována pro jakékoli podkolekce G , aniž by se předpokládala konečnost. Taková definice je však přísnější restriktivní definicí. Například otevřené intervaly reálné osy splňují Hellyho vlastnost pro konečné podkolekce, ale ne pro nekonečné - intervaly (0,1/ i ) (pro i = 1, 2, 3, ...) mají párové ne -prázdný průsečík, ale průsečík všech takových intervalů prázdný.

Pekelná dimenze

Jestliže rodina množin je Helly rodinou řádu k , pak rodina má Helly číslo k . Dimenze Helly metrického prostoru je o jednu menší než Helly číslo rodiny metrických kuliček v tomto prostoru. Z Hellyho věty vyplývá, že Hellyho dimenze euklidovského prostoru je rovna jeho dimenzi jako reálného vektorového prostoru [4] .

Hellyho dimenze podmnožiny S euklidovského prostoru, jako je mnohostěn, je o jednu menší než Hellyho číslo rodiny paralelních překladů S [5] . Například Hellyho dimenze jakékoli hyperkrychle je 1, i když je taková postava ve velmi vysokorozměrném euklidovském prostoru [6] .

Dimenze Helly platí i pro jiné matematické objekty. Například Domokos [7] definuje Hellyho dimenzi grupy (algebraická struktura tvořená invertibilní a asociativní dvoumístnou operací) o jednu menší než Hellyho dimenze rodiny levých koset grupy [8] .

Helly property

Pokud má rodina neprázdných množin prázdný průsečík, její Hellyho číslo musí být alespoň dvě, takže nejmenší k , pro které případ není triviální, je 2. Vlastnost 2-Helly je známá také jako Hellyho vlastnost . Rodina 2-Hell je známá jako rodina Hell [1] [2] .

Metrický prostor , ve kterém jsou uzavřené koule 2-Hell (tj. prostor s Hellyho dimenzí 1), se nazývá injektivní nebo hyperkonvexní [9] . Existence husté skořápky umožňuje vložit jakýkoli metrický prostor do prostoru s dimenzí Helly 1 [10] .

Poznámky

  1. ↑ 1 2 3 4 Bollobás, 1986 , s. 82.
  2. ↑ 1 2 3 Duchet, 1995 , str. 381–432.
  3. ↑ Toto je jednorozměrný případ Hellyho věty. K podstatě tohoto důkazu, včetně barvitých frází o spících studentech, viz článek Savcheva a Andreescu ( Savchev, Andreescu 2003 , s. 104–106).
  4. ↑ Martini, 1997 , s. 92–93.
  5. ↑ Bezdek, 2010 , str. 27.
  6. ↑ Sz.-Nagy, 1954 , s. 169–177.
  7. ↑ Domokos, 2007 .
  8. ↑ Domokos, 2007 , str. 49–63.
  9. ↑ M.&E. Deza, 2012 , str. 19.
  10. ↑ Isbell, 1964 , s. 65–76.

Literatura