Konvexní metrický prostor

Konvexní metrické prostory jsou intuitivně definovány jako metrické prostory s tou vlastností, že jakýkoli „segment“, který spojuje dva body v tomto prostoru, obsahuje body jiné než jeho konce.

Definice

Uvažujme metrický prostor ( X , d ) a nechť x a y jsou dva body v X . Bod z v X je mezi x a y , pokud jsou všechny tři body párově odlišné, a

d(x,z)+d(z,y)=d(x,y),

to znamená , že z trojúhelníkové nerovnosti se stane rovnost. Konvexní metrický prostor je metrický prostor ( X , d ) takový, že pro jakékoli dva odlišné body x a y v X existuje třetí bod z v X ležící mezi x a y .

Poznámky

Metrické vyboulení:

neznamená konvexnost v obvyklém smyslu pro podmnožiny euklidovského prostoru (viz příklad racionálních čísel)
nezahrnuje konektivitu (viz příklad racionálních čísel)
nezahrnuje geodetickou konvexnost (anglicky) Riemannových variet (například lze uvažovat euklidovský prostor s uzavřeným vyříznutým diskem).

Příklady

Euklidovské prostory, tedy obvyklý trojrozměrný prostor a jeho analogy pro jiné dimenze, jsou konvexní metrické prostory. Jsou-li dány dva libovolné odlišné body a v takovém prostoru, množina všech bodů splňujících výše uvedenou "rovnost trojúhelníku" tvoří úsečku mezi a která vždy obsahuje jiné body než a Ve skutečnosti obsahuje kontinuum bodů . $X$ $y$ $z$ $X$ $y,$ $X$ $y$

Jakákoli konvexní množina v euklidovském prostoru tvoří konvexní metrický prostor s indukovanou euklidovskou normou. i. Pro uzavřené množiny to platí i naopak: je-li uzavřená podmnožina euklidovského prostoru spolu s indukovanou vzdáleností konvexním metrickým prostorem, pak je také konvexní množinou (toto je speciální případ uvažovaného obecnějšího tvrzení níže).
Kruh je konvexní metrický prostor, pokud je vzdálenost mezi dvěma body definována jako délka nejkratšího oblouku, který tyto body na kružnici spojuje.

Metrické segmenty

Dovolit být libovolný metrický prostor (ne nutně konvexní). Podmnožina se nazývá metrický segment mezi dvěma odlišnými body a v případě, že existuje číselný segment a izometrické zobrazení $(X,d)$ $S\subset X$ $X$ $y$ $X,$ $[a,b]$

\gamma :[a,b]\to X,

takové, že a $\gamma ([a,b])=S,$ $\gamma (a)=x$ $\gamma (b)=y.$

Je zřejmé, že jakýkoli bod tohoto metrického segmentu , s výjimkou jeho "konců" a leží mezi a V důsledku toho, pokud v metrickém prostoru existují metrické segmenty mezi libovolnými dvěma různými body prostoru, pak je to konvexní metrický prostor. $S$ $X$ $y$ $X$ $y$ $(X,d)$

Obecně platí, že opak není pravdou. Racionální čísla tvoří konvexní metrický prostor s obvyklou metrikou, ale neexistuje žádný segment, který spojuje dvě racionální čísla a skládá se pouze z racionálních čísel. Nicméně, pokud je konvexní metrický prostor a navíc je úplný , lze dokázat, že pro libovolné dva body existuje metrický segment, který je spojuje, obecně řečeno, ne jediný. $(X,d)$ $x\ney$ $X$

Konvexní metrické prostory a konvexní množiny

Jak je uvedeno v sekci příkladů, uzavřené podmnožiny euklidovského prostoru tvoří konvexní metrické prostory právě tehdy, jsou-li konvexními množinami. Je přirozené předpokládat, že konvexní metrické prostory jsou zobecněním konceptu konvexity, kde jsou lineární segmenty nahrazeny metrickými.

Je však třeba poznamenat, že takto definovaná metrická konvexita postrádá jednu z nejdůležitějších vlastností euklidovských konvexních množin, totiž konvexitu průniku dvou konvexních množin. Ve skutečnosti, jak bylo zdůrazněno v části příkladů, kruh se vzdáleností mezi dvěma body, měřenou jako délka nejkratšího oblouku, který je spojuje, tvoří konvexní a úplný metrický prostor .

Pokud však a jsou dva body na kružnici, které jsou vzájemně diametrálně opačné, pak je spojují dva metrické segmenty. Tyto dva oblouky jsou metricky konvexní, ale jejich průsečík není metricky konvexní. $X$ $y$ ${\displaystyle \{x,y\))$

Viz také

vnitřní metrika

Bibliografie

Khamsi, Mohamed A.; Kirk, William A.Úvoddo metrických prostorů a teorie pevných bodů . - Wiley-IEEE, 2001. - ISBN 0-471-41825-0 .

Kaplanský, Irving. Teorie množin a metrické prostory (neopr.) . - American Mathematical Society, 2001. - ISBN 0-8218-2694-8 .