Symetrická funkce

Symetrická funkce n proměnných je funkce, jejíž hodnota na libovolné n - tici argumentů je stejná jako hodnota na libovolné permutaci této n -tice [1] . Pokud například , může být funkce symetrická na všech proměnných nebo párech , nebo . I když může odkazovat na jakékoli funkce, pro které má n argumentů stejnou doménu, nejčastěji se odkazuje na polynomy , což jsou v tomto případě symetrické polynomy . $f(\mathbf {x} )=f(x_{1},x_{2},x_{3})$ $(x_{1},x_{2})$ $(x_{2},x_{3})$ $(x_{1},x_{3})$ . Mimo polynomy je teorie symetrických funkcí špatná a málo používaná. Také přesný počet proměnných většinou není důležitý, má se za to, že jich je prostě poměrně hodně. Aby byla tato myšlenka přesnější, používá se projektivní limita k přechodu do takzvaného kruhu symetrických funkcí , který formálně obsahuje nekonečný počet proměnných. $\lambda$

Symetrizace

Vzhledem k jakékoli funkci f z n proměnných s hodnotami v abelovské skupině (tj. ve skupině s komutativní operací) lze symetrickou funkci zkonstruovat sečtením hodnot f přes všechny permutace argumentů. Podobně lze antisymetrickou funkci zkonstruovat jako součet přes všechny sudé permutace , od kterého se odečte součet přes všechny liché permutace. Tyto operace jsou samozřejmě nevratné a mohou vést k identicky nulové funkci pro netriviální funkci f . Jediný případ, kdy f lze obnovit, když je známa symetrizace a antisymetrizace funkce, je, když n = 2 a abelovská skupina může být dělena 2 (převrácená hodnota zdvojení). V tomto případě se f rovná polovině součtu symetrizace a antisymetrizace.

Okruh symetrických funkcí

Uvažujme působení symetrické grupy na polynomický kruh v n proměnných. Funguje to permutací proměnných. Jak bylo uvedeno výše, symetrické polynomy jsou přesně ty, které se působením prvků této grupy nemění. Tvoří tedy podkruh: ${\displaystyle S_{n))$ $\mathbb {Z} [x_{1},\dots ,x_{n}]$

\Lambda _{n}=\mathbb {Z} [x_{1},\tečky ,x_{n}]^{S_{n))

Na druhé straně je odstupňovaný prsten : $\Lambda _{n}$

{\displaystyle \Lambda _{n}=\bigoplus _{k\geq 0}\Lambda _{n}^{k))

, kde se skládá z homogenních symetrických polynomů stupně k , jakož i z nulového polynomu.

{\displaystyle \Lambda _{n}^{k))

Dále pomocí projektivní limity definujeme okruh symetrických funkcí stupně k :

{\displaystyle \Lambda ^{k}=\varprojlim _{n}\Lambda _{n}^{k))

Nakonec získáme odstupňovaný kruh , který se nazývá kruh symetrických funkcí. ${\displaystyle \Lambda =\bigoplus _{k\geq 0}\Lambda ^{k))$

Poznámky.

$\lambda$ není projektivní limit (v kategorii kroužků). Například nekonečný produkt není obsažen v , protože obsahuje monomiály libovolně velkého stupně. ${\displaystyle \Lambda _{k))$ $\prod _{j=1}^{\infty }(1+x_{j})$ $\lambda$
"Determinant" také nemá ekvivalent v . ${\displaystyle (\prod _{i<j}(x_{i}-x_{j))^{2))$ $\lambda$

Báze v prostoru symetrických funkcí

Monomiální základ. Pro každý oddíl definujeme monočlen , který není symetrickým polynomem a také obsahuje pouze konečný počet proměnných, které do něj vstupují s nenulovým stupněm. Nyní sečteme množinu z ní získaných monočlenů všemi možnými permutacemi indexů (každý monočlen se sečte pouze jednou, i když jej lze získat pomocí více různých permutací): . Je snadné pochopit, že takové, které tvoří základ , a proto všechny tvoří základ , který se nazývá monomiální. $\lambda =(\lambda _{1},\lambda _{2},\tečky )$ $x^{\lambda }=x_{1}^{\lambda _{1}}x_{2}^{\lambda _{2}}\dots$ $x_{\alpha }^{\lambda }$ $\alpha$ ${\displaystyle m_{\lambda }=\sum _{\alpha }x_{\alpha }^{\lambda ))$ ${\displaystyle m_{\lambda ))$ $|\lambda |=n$ ${\displaystyle \Lambda ^{n))$ ${\displaystyle m_{\lambda ))$ $\lambda$

Elementární symetrické funkce. Pro každé celé číslo definujeme — součet všech možných produktů z r různých proměnných. Tedy pro : $r\geq 0$ ${\displaystyle e_{r))$ $e_{0}=1$ $r\geq 1$

e_{r}=\sum _{i_{1}<i_{2}<\tečky <i_{r}}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\tečky x_{i_{ r}}=m_{(1^{r})}

Pro každý oddíl je elementární symetrickou funkcí Tvoří základ v prostoru .

\lambda

e_{\lambda }=e_{\lambda _{1}}e_{\lambda _{2}}\tečky

\lambda

Kompletní symetrické funkce. Pro každé celé číslo definujeme — součet všech monomiálních funkcí stupně r . Tedy pro : $r\geq 0$ ${\displaystyle h_{r))$ $h_{0}=1$ $r\geq 1$

{\displaystyle h_{r}=\sum _{|\lambda |=r}m_{\lambda ))

Dále, jako v případě elementárních funkcí, nastavujeme

h_{\lambda }=h_{\lambda _{1}}h_{\lambda _{2}}\tečky

Součty výkonu. Pro každý se nazývá součet mocnin . $r\geq 1$ ${\displaystyle p_{r}=\sum _{i\geq 1}^{\infty }x_{i}^{r}=m_{(r)))$

Pro rozdělení je součet výkonu definován jako $\lambda$ $p_{\lambda }=p_{\lambda _{1}}p_{\lambda _{2}}\tečky$

Totožnosti.

$\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}e_{i}h_{ki}=0=\sum _{i=0}^{k}(-1) ^{i}h_{i}e_{ki}$ , pro všechna k > 0 ,
${\displaystyle ke_{k}=\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i-1}p_{i}e_{ki))$ , pro všechna k > 0 ,
${\displaystyle kh_{k}=\sum _{i=1}^{k}p_{i}h_{ki))$ , pro všechna k > 0 .

Vztahy pro generování funkcí.

Je snadné to ukázat $E(t)=\sum _{r\geq 0}e_{r}t^{r}=\prod _{i\geq 1}(1+x_{i}t)$

Taky $H(t)=\sum _{r\geq 0}h_{r}t^{r}=\prod _{i\geq 1}(1-x_{i}t)^{-1}$

Z toho vyplývá vztah $H(t)E(-t)=1$

Konečně, . $P(t)=\součet _{r\geq 1}p_{r}t^{r-1}=\součet _{i\geq 1}\součet _{r\geq 1}x_{i }^{r}t^{r-1}=\součet _{i\geq 1}{\frac {x_{i}}{1-x_{i}t}}=\součet _{i\geq 1 }{\frac {d}{dt}}ln{\frac {1}{1-x_{i}t}}={\frac {d}{dt}}ln\prod _{i\geq 1}( 1-x_{i}t)^{-1}={\frac {d}{dt}}lnH(t)={\frac {H'(t)}{H(t)))$

Dostáváme se podobně . $P(-t)={\frac {d}{dt}}lnE(t)={\frac {E'(t)}{E(t)))$

Schurovy funkce . Nechť existuje konečný počet proměnnýcha oddíltakový, že(délka oddílu nepřesahuje počet proměnných). Pak Schurův polynom dělenív n proměnných jehomogenní symetrický polynom stupně. V, tyto polynomy konvergují do jediného prvku, nazývaného Schurova rozdělovací funkce. ${\displaystyle x_{1},x_{2},\tečky ,x_{n))$ $\lambda$ $l(\lambda )\leq n$ $\lambda$ $s_{\lambda }(x_{1},x_{2},\tečky ,x_{n})={\frac {det(x_{i}^{\lambda _{j}+nj}) _{1\leq i,j\leq n}}{det(x_{i}^{nj})_{1\leq i,j\leq n}}}$ $|\lambda |$ $n\rightarrow \infty$ $s_{\lambda }\in \Lambda$ $\lambda$

Jackovy funkce . Se zavedením speciálního skalárního součinu docházíke zobecnění Schurových funkcí, které si zachovají mnoho z jejich vlastností. $\lambda$

Aplikace

U-statistika

Ve statistice dává n - vzorková statistika (funkce n proměnných) získaná bootstrapovou symetrizací statistiky na vzorku k prvků symetrickou funkci n proměnných, nazývanou U-statistika . Příklady zahrnují výběrový průměr a výběrový rozptyl .

Viz také

Elementární symetrické polynomy
Kvazisymetrická funkce
Prstenec symetrických funkcí

Poznámky

↑ Van der Waerden, 1979 , s. 121.

Literatura

Macdonald IG Symetrické funkce a ortogonální polynomy. New Brunswick, New Jersey. Řada univerzitních přednášek, 12. American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 1998. xvi+53 pp. ISBN 0-8218-0770-6 MR : 1488699
Macdonald IG Symetrické funkce a Hallovy polynomy. druhé vydání. Oxfordské matematické monografie. Oxfordské vědecké publikace. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1995. x+475 stran. ISBN 0-19-853489-2 1. vydání (neurčité) . — 1979.
McDonald I. Symetrické funkce a Hallovy polynomy. -Mir, 1984. - 224 s.
David FN, Kendall MG , Barton DE Symmetric Function a Allied Tables. — Cambridge University Press , 1966.
Joseph PS Kung, Gian-Carlo Rota, Catherine H. Yan. Kombinatorika: Cesta Rota. – Cambridge University Press, 2009. – xii+396 s. - ISBN 978-0-521-73794-4 .
— §5.1 Symetrické funkce, str. 222–225.
— §5.7. Symetrické funkce nad konečnými poli, str. 259–270.
Van der Waerden B. L. Algebra. - M .: "Nauka", 1979.
- §33. Symetrické funkce, str. 121.