Symetrická funkce
Symetrická funkce n proměnných je funkce, jejíž hodnota na libovolné n - tici argumentů je stejná jako hodnota na libovolné permutaci této n -tice [1] . Pokud například , může být funkce symetrická na všech proměnných nebo párech , nebo . I když může odkazovat na jakékoli funkce, pro které má n argumentů stejnou doménu, nejčastěji se odkazuje na polynomy , což jsou v tomto případě symetrické polynomy .![{\displaystyle f(\mathbf {x} )=f(x_{1},x_{2},x_{3})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bcfdbd4a99e206c9240e4e934d574040cf7bce4)
![(x_{1},x_{2})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9bb1427314b1719774232fe0d156a0edacf1ced)
![{\displaystyle (x_{2},x_{3})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd751086ea09720d0f6cd1388b2589f1dd94003)
. Mimo polynomy je teorie symetrických funkcí špatná a málo používaná. Také přesný počet proměnných většinou není důležitý, má se za to, že jich je prostě poměrně hodně. Aby byla tato myšlenka přesnější, používá se projektivní limita k přechodu do takzvaného kruhu symetrických funkcí , který formálně obsahuje nekonečný počet proměnných.
![\lambda](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ac0a4a98a414e3480335f9ba652d12571ec6733)
Symetrizace
Vzhledem k jakékoli funkci f z n proměnných s hodnotami v abelovské skupině (tj. ve skupině s komutativní operací) lze symetrickou funkci zkonstruovat sečtením hodnot f přes všechny permutace argumentů. Podobně lze antisymetrickou funkci zkonstruovat jako součet přes všechny sudé permutace , od kterého se odečte součet přes všechny liché permutace. Tyto operace jsou samozřejmě nevratné a mohou vést k identicky nulové funkci pro netriviální funkci f . Jediný případ, kdy f lze obnovit, když je známa symetrizace a antisymetrizace funkce, je, když n = 2 a abelovská skupina může být dělena 2 (převrácená hodnota zdvojení). V tomto případě se f rovná polovině součtu symetrizace a antisymetrizace.
Okruh symetrických funkcí
Uvažujme působení symetrické grupy na polynomický kruh v n proměnných. Funguje to permutací proměnných. Jak bylo uvedeno výše, symetrické polynomy jsou přesně ty, které se působením prvků této grupy nemění. Tvoří tedy podkruh:
![{\displaystyle S_{n))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f049ac28d4ac8097b625f9d71c1f22b2ebd1bc4)
![{\displaystyle \mathbb {Z} [x_{1},\dots ,x_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b359941bcd006c7401062a480d279ebe8d3ebc2)
Na druhé straně je odstupňovaný prsten :
![{\displaystyle \Lambda _{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76f399e517734dcac62e73b2280c9c81d218ecff)
![{\displaystyle \Lambda _{n}=\bigoplus _{k\geq 0}\Lambda _{n}^{k))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b89993ceb13d14e36a62e64007fb0f9fcf2f1702)
, kde se skládá z homogenních symetrických polynomů stupně k , jakož i z nulového polynomu.
Dále pomocí projektivní limity definujeme okruh symetrických funkcí stupně k :
Nakonec získáme odstupňovaný kruh , který se nazývá kruh symetrických funkcí.
![{\displaystyle \Lambda =\bigoplus _{k\geq 0}\Lambda ^{k))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e0045e7bf829d60a7fbbd3c400b6f4384fa2ec3)
Poznámky.
není projektivní limit (v kategorii kroužků). Například nekonečný produkt není obsažen v , protože obsahuje monomiály libovolně velkého stupně.![{\displaystyle \Lambda _{k))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/436dbfeedc7bec4dcac3fe9f4e4bccc890e5b2e5)
![{\displaystyle \prod _{j=1}^{\infty }(1+x_{j})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd76bb0f78dfc418b18f16d0e8d209e09bc8129e)
![\lambda](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ac0a4a98a414e3480335f9ba652d12571ec6733)
- "Determinant" také nemá ekvivalent v .
![{\displaystyle (\prod _{i<j}(x_{i}-x_{j))^{2))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/716f0f874d4f2f8c491b68931212629171875c5e)
![\lambda](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ac0a4a98a414e3480335f9ba652d12571ec6733)
Báze v prostoru symetrických funkcí
- Monomiální základ. Pro každý oddíl definujeme monočlen , který není symetrickým polynomem a také obsahuje pouze konečný počet proměnných, které do něj vstupují s nenulovým stupněm. Nyní sečteme množinu z ní získaných monočlenů všemi možnými permutacemi indexů (každý monočlen se sečte pouze jednou, i když jej lze získat pomocí více různých permutací): . Je snadné pochopit, že takové, které tvoří základ , a proto všechny tvoří základ , který se nazývá monomiální.
![{\displaystyle \lambda =(\lambda _{1},\lambda _{2},\tečky )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86d50f449cba37e3839e546f40245380af8ba576)
![{\displaystyle x^{\lambda }=x_{1}^{\lambda _{1}}x_{2}^{\lambda _{2}}\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e5f66ca2e7f56c676bb272715c7be4ff7f52ef4)
![{\displaystyle x_{\alpha }^{\lambda }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad541ab3efc961aff2251a648c7f93c2f993e998)
![\alpha](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3)
![{\displaystyle m_{\lambda }=\sum _{\alpha }x_{\alpha }^{\lambda ))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3df4d2dbec14622aa240c5a39ba2122b1a609c9d)
![{\displaystyle m_{\lambda ))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d094220f3fa459abfc2d84a2e23d9a01e5519a8b)
![{\displaystyle |\lambda |=n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b961898fa9ec8ea962a7cec658113868ca5c05d4)
![{\displaystyle \Lambda ^{n))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79b5fbbc36e8db92ba9cc871db857f2f1a4de432)
![{\displaystyle m_{\lambda ))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d094220f3fa459abfc2d84a2e23d9a01e5519a8b)
![\lambda](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ac0a4a98a414e3480335f9ba652d12571ec6733)
- Elementární symetrické funkce. Pro každé celé číslo definujeme — součet všech možných produktů z r různých proměnných. Tedy pro :
![{\displaystyle r\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa96c19954fcda2695f988938ccf091d2bc2bbae)
![{\displaystyle e_{r))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f015d7f22251235bde1a052f85eb03ff52e66642)
![{\displaystyle e_{0}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f06d4cf4ea8c2fd4fcf76296f8e55ff97d0d250)
![{\displaystyle r\geq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b1e87b13257cf2fecf01cadc7ad9ca50c6fedfd)
![{\displaystyle e_{r}=\sum _{i_{1}<i_{2}<\tečky <i_{r}}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\tečky x_{i_{ r}}=m_{(1^{r})}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7eefbc2e54dc4306be4b294a731e246766ade81d)
Pro každý oddíl je elementární symetrickou funkcí Tvoří základ v prostoru .
![\lambda](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a)
![{\displaystyle e_{\lambda }=e_{\lambda _{1}}e_{\lambda _{2}}\tečky }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae8dd449e2ea08623d84fc92c1ec414eb87169c2)
- Kompletní symetrické funkce. Pro každé celé číslo definujeme — součet všech monomiálních funkcí stupně r . Tedy pro :
![{\displaystyle r\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa96c19954fcda2695f988938ccf091d2bc2bbae)
![{\displaystyle h_{r))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87b8534147ad8c99d738c25c0ecc134ddef19fd3)
![{\displaystyle h_{0}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d9bfc977e9fe3f838453d672c59f48d31d442b8)
![{\displaystyle r\geq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b1e87b13257cf2fecf01cadc7ad9ca50c6fedfd)
![{\displaystyle h_{r}=\sum _{|\lambda |=r}m_{\lambda ))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c861fb38ceb6ba769747bbf63c76988be58b3338)
Dále, jako v případě elementárních funkcí, nastavujeme
- Součty výkonu. Pro každý se nazývá součet mocnin .
![{\displaystyle r\geq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b1e87b13257cf2fecf01cadc7ad9ca50c6fedfd)
![{\displaystyle p_{r}=\sum _{i\geq 1}^{\infty }x_{i}^{r}=m_{(r)))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca3a1ca6713d48d1cc10275e611ed067fe97a4a9)
Pro rozdělení je součet výkonu definován jako![\lambda](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a)
Totožnosti.
, pro všechna k > 0 ,
, pro všechna k > 0 ,
, pro všechna k > 0 .
Vztahy pro generování funkcí.
Je snadné to ukázat
Taky
Z toho vyplývá vztah
Konečně, .
![{\displaystyle P(t)=\součet _{r\geq 1}p_{r}t^{r-1}=\součet _{i\geq 1}\součet _{r\geq 1}x_{i }^{r}t^{r-1}=\součet _{i\geq 1}{\frac {x_{i}}{1-x_{i}t}}=\součet _{i\geq 1 }{\frac {d}{dt}}ln{\frac {1}{1-x_{i}t}}={\frac {d}{dt}}ln\prod _{i\geq 1}( 1-x_{i}t)^{-1}={\frac {d}{dt}}lnH(t)={\frac {H'(t)}{H(t)))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09094d33a04e5264090f95b48002eb7a99473b73)
Dostáváme se podobně .
![{\displaystyle P(-t)={\frac {d}{dt}}lnE(t)={\frac {E'(t)}{E(t)))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c737d7475a677a0f286ba60729872e3ad6fc2be)
- Schurovy funkce . Nechť existuje konečný počet proměnnýcha oddíltakový, že(délka oddílu nepřesahuje počet proměnných). Pak Schurův polynom dělenív n proměnných jehomogenní symetrický polynom stupně. V, tyto polynomy konvergují do jediného prvku, nazývaného Schurova rozdělovací funkce.
![{\displaystyle x_{1},x_{2},\tečky ,x_{n))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75c2d357bc1b965979bf171b5ba3bac0f68961c2)
![\lambda](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a)
![{\displaystyle l(\lambda )\leq n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da22a96cbd9259f3d8c1c362ecbc5d0adafc084d)
![\lambda](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a)
![{\displaystyle s_{\lambda }(x_{1},x_{2},\tečky ,x_{n})={\frac {det(x_{i}^{\lambda _{j}+nj}) _{1\leq i,j\leq n}}{det(x_{i}^{nj})_{1\leq i,j\leq n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/164d978af55132ea0426c39df1a3acf77909e5c7)
![{\displaystyle |\lambda |}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e92d2419f2d2ad612edb802a7727b4f4eb07f3c8)
![n\rightarrow \infty](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9702f04f2d0e5b887b99faeeffb0c4cfd8263eee)
![{\displaystyle s_{\lambda }\in \Lambda }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d5b3fa56e6d95d27b148dd88f2d4a9d65c9eabc)
![\lambda](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a)
- Jackovy funkce . Se zavedením speciálního skalárního součinu docházíke zobecnění Schurových funkcí, které si zachovají mnoho z jejich vlastností.
![\lambda](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ac0a4a98a414e3480335f9ba652d12571ec6733)
Aplikace
U-statistika
Ve statistice dává n - vzorková statistika (funkce n proměnných) získaná bootstrapovou symetrizací statistiky na vzorku k prvků symetrickou funkci n proměnných, nazývanou U-statistika . Příklady zahrnují výběrový průměr a výběrový rozptyl .
Viz také
- Elementární symetrické polynomy
- Kvazisymetrická funkce
- Prstenec symetrických funkcí
Poznámky
- ↑ Van der Waerden, 1979 , s. 121.
Literatura
- Macdonald IG Symetrické funkce a ortogonální polynomy. New Brunswick, New Jersey. Řada univerzitních přednášek, 12. American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 1998. xvi+53 pp. ISBN 0-8218-0770-6 MR : 1488699
- Macdonald IG Symetrické funkce a Hallovy polynomy. druhé vydání. Oxfordské matematické monografie. Oxfordské vědecké publikace. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1995. x+475 stran. ISBN 0-19-853489-2 1. vydání (neurčité) . — 1979.
- McDonald I. Symetrické funkce a Hallovy polynomy. -Mir, 1984. - 224 s.
- David FN, Kendall MG , Barton DE Symmetric Function a Allied Tables. — Cambridge University Press , 1966.
- Joseph PS Kung, Gian-Carlo Rota, Catherine H. Yan. Kombinatorika: Cesta Rota. – Cambridge University Press, 2009. – xii+396 s. - ISBN 978-0-521-73794-4 .
— §5.1 Symetrické funkce, str. 222–225.
— §5.7. Symetrické funkce nad konečnými poli, str. 259–270.
- Van der Waerden B. L. Algebra. - M .: "Nauka", 1979.
- §33. Symetrické funkce, str. 121.