Jednoduchá kategorie

Simpliciální kategorie (též simplexní kategorie , ordinální kategorie ) [1] je kategorie neprázdných konečných ordinálních čísel , jejichž morfismy jsou monotónní funkce . Hraje důležitou roli v algebraické topologii [2] a je základem pro takové konstrukce, jako je simpliciální objekt a simpliciální množina .

Zjednodušená kategorie (někdy se používá zápis [3] ) je konstruována z objektů ve tvaru , kde je přirozené číslo , a morfismů , které vyplývají z . Jinými slovy, objekty simpliciální kategorie jsou konečná ordinální čísla a morfismy jsou mezi nimi nepřísně monotónní funkce. Pořadové číslo je počátečním objektem kategorie a je to terminál . $\Delta$ $\mathbf {Ord}$ ${\displaystyle [n]=\{0,1,\tečky ,n\))$ $n$ $f:[n]\to [n']$ $i\leqslant j$ $f(i)\leqslant f(j)$ $[0]$ $[1]$

Vlastnosti

Jakýkoli morfismus jednoduché kategorie může být generován složením morfismů [4] ( ): $0\leqslant i\leqslant n$

\delta _{i}^{n}:[n-1]\to [n]

\sigma _{i}^{n}:[n+1]\to [n]

definován takto:

\delta _{i}^{n}(j)={\begin{cases}j,&j<i\\j+1,&j\geqslant i\end{cases}}

(zvyšující se injektivní mapování, "únik" ),

i

\sigma _{i}^{n}(j)={\begin{cases}j,&j\leqslant i\\j-1,&j>i\end{cases}}

(neklesající surjektivní mapování, které nabývá hodnoty dvakrát).

i

Navíc pro každého existuje jedinečné zastoupení: $f\in \mathrm {Hom} _{\Delta }([m],[n])$

f=\delta _{i_{s}}^{n}\delta _{i_{s-1}}^{n-1}\dots \delta _{i_{1}}^{n- s+1}\sigma _{j_{t}}^{mt}\tečky \sigma _{j_{2}}^{m-2}\sigma _{j_{1}}^{m-1}

kde , , . $0\leqslant i_{1}<\tečky <i_{s}\leqslant n$ $0\leqslant j_{t}<\tečky <j_{1}<m$ $n=m-t+s$

Tyto morfismy splňují následující vztahy:

\delta _{j}^{n+1}\delta _{i}^{n}=\delta _{i}^{n+1}\delta _{j-1}^{n}

, pokud ,

i<j

\sigma _{j}^{n}\sigma _{i}^{n+1}=\sigma _{i}^{n}\sigma _{j+1}^{i+1}

, pokud ,

i\leqslant j

\sigma _{j}^{n-1}\delta _{i}^{n}={\begin{cases}\delta _{i}^{n-1}\sigma _{j- 1}^{n-2},&i<j\\{\mathsf {Id}}_{[n-1]},&i=j\,\vee \,i=j+1\\\delta _{ i-1}^{n-1}\sigma _{j}^{n-2},&i>j+1\end{cases}}

Tyto vztahy jednoznačně určují morfismy a . $\delta$ $\sigma$

Související definice

Ordinální sčítání je bifunktor definovaný na řadových číslech jako obyčejné sčítání: $+:\Delta \times \Delta \to \Delta$

[n]+[n']=[n+n']

a pro morfismy a podle následujícího schématu: $f:[n]\to [n']$ $g:[m]\to [m']$

(f+g)(i)={\begin{cases}f(i),&0\leqslant i\leqslant n-1\\n'+g(in),&n\leqslant i\leqslant n+ m -1\end{cases}}

Zjednodušená kategorie s ordinálním sčítáním tvoří přísně monoidní kategorii .

Aplikace také používají rozšířenou simpliciální kategorii, simpliciální kategorii doplněnou o pořadové číslo :. Někdy se rozšířená simpliciální kategorie nazývá algebraická simpliciální kategorie , v takovém případě se nazývá topologická . ${\displaystyle \Delta _{+))$ $[-1]=\varnothing$ $\Delta _{+}=\Delta \cup [-1]$ $\Delta$

Poznámky

↑ Někdy se simpliciální objekt z kategorie malých kategorií nazývá simpliciální kategorie . Někdy se navíc zjednodušeně obohacené kategorie nazývají stejným způsobem – kategorie obohacené nad kategorií simpliciálních množin . Pokud existuje v kontextu takových konstrukcí výraz „jednoduchá kategorie“ , snaží se vyhnout použití alternativních výrazů nebo pouze označení. $\Delta$
↑ McLane, 2004 , str. 204.
↑ Jak často se také označuje kategorie všech lineárně uspořádaných množin, ve kterých je simpliciální kategorie úplnou podkategorií $\mathbf {Ord}$
↑ Jednoduchý objekt – článek Encyklopedie matematiky . S. N. Malygin, M. M. Postnikov

Literatura

McLane S. Kapitola 7. Monoidy // Kategorie pro pracujícího matematika / Per. z angličtiny. vyd. V. A. Artamonová. - M. : Fizmatlit, 2004. - S. 188-221. — 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .

Gabriel P., Tsisman M. Kategorie zlomků a teorie homotopie = Calculus of Fractions and Homotopy Theory / Z angličtiny přeložila M. M. Postniková . - M .: Mir , 1971. - S. 69-72. — 296 s.