Náhodný prvek

Náhodný prvek je zobecněním konceptu náhodné veličiny . Termín zřejmě zavedl M. Frechet (1948), který poznamenal, že „rozvoj teorie pravděpodobnosti a rozšíření rozsahu jejích aplikací vedly k potřebě přejít od schémat, kde lze (náhodné) výsledky zkušenosti popsaný číslem nebo konečnou množinou čísel, ke schématům, kde výsledky zkušenosti jsou například vektory , funkce , procesy , pole , řady , transformace, stejně jako množiny nebo množiny množin.

Definice

Nechť být pravděpodobnostní a být měřitelný prostor . Poté se měřitelná funkce nazývá náhodný prvek (s hodnotami v ) nebo náhodná proměnná s hodnotou. $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $(E,{\mathcal {E))$ $X:(\Omega ,{\mathcal {F)),\mathbb {P} )\to (E,{\mathcal {E)))$ $E$ $E$

Příklady náhodných prvků

Jestliže , kde je skutečná osa a je Borelova algebra jejích podmnožin, pak definice S.e. se shoduje s definicí náhodné veličiny . $(E,{\mathcal {E}})=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$ $\mathbb {R}$ ${\mathcal {B}} (\mathbb {R} )$ $\sigma$

Definice S.e. v Banachově prostoru připomíná definici náhodné proměnné. Nechť je duální prostor k. Zobrazení prostoru elementárních událostí do se nazývá náhodný prvek, jestliže se každý spojitý lineární funkcionál ukáže být náhodnou proměnnou. Na S.e. v Banachově prostoru lze rozšířit základní pojmy teorie pravděpodobnosti, jako je charakteristická funkce , matematické očekávání , kovariance atd. $X$ $B$ $B^{*}$ $B$ $X=X(\omega )$ $\Omega$ $\omega$ $B$ $X^{*}(X(\omega ))$

Pro S.e. s hodnotami v libovolných prostorech nelze definovat některé základní pojmy teorie pravděpodobnosti. Například nelze definovat klasický koncept matematického očekávání pro SE, jehož prostor hodnot není lineární (Náhodná konečná abstraktní množina, náhodná množina událostí). V takových situacích se obvykle používá ten či onen analog klasických konceptů (středněrozměrná množina).

Náhodné prvky různé povahy

Náhodná hodnota
Diskrétní náhodná veličina
Spojitá náhodná veličina
Komplexní náhodná veličina
Jednoduchá náhodná veličina
náhodný vektor
náhodná matice
náhodná funkce
náhodný proces
náhodné pole
náhodné opatření
náhodná sada
Náhodně uzavřená sada
Náhodná kompaktní sada
náhodná "tečka"
Náhodná postava
náhodný tvar
Náhodná konečná množina
Náhodná konečná abstraktní sada
Náhodný soubor událostí

Literatura

Frechet, M. (1948) Les elements aleatories de nature quelconque dans un espace distance. Ann.Inst.H.Poincare 10, 215-310.
Shiryaev A. N. (1980) Pravděpodobnost. - M .: Nauka, 576 let.

Viz také

Měřitelná funkce