Perfektní pole

V obecné algebře se pole k považuje za dokonalé , pokud platí jedna z následujících ekvivalentních podmínek:

1) Každý ireducibilní polynom nad k má odlišné kořeny v algebraickém uzávěru k . 2) Každé konečné rozšíření k je oddělitelné . 3) Každé algebraické rozšíření k je oddělitelné . 4) k má charakteristiku 0 nebo k má charakteristiku p > 0 a každý prvek k je p -tá mocnina. 5) k má charakteristiku 0 nebo k má charakteristiku p > 0 a Frobeniův endomorfismus je automorfismus . 6) k se shoduje s množinou pevných bodů k -automorfismů algebraického uzávěru k .

Jinak je pole prý nedokonalé .

Dokonalá pole jsou užitečná v tom, že se nad nimi Galoisova teorie stává mnohem jednodušší, protože podmínka oddělitelnosti pro rozšíření pole je splněna automaticky.

Obecněji se o kruhu charakteristiky p říká, že je dokonalý, pokud je jeho Frobeniův endomorfismus automorfismus. [1] (V případě integrálních kruhů je to ekvivalentní podmínce "každý prvek je p -tá mocnina)."

Příklady

Všechna pole charakteristické nuly jsou dokonalá, jako například pole racionálních čísel .
Všechna pole terminálu .
Všechna algebraicky uzavřená pole .
Dokonalá jsou také algebraická rozšíření dokonalého pole.

Většina oborů, které se v praxi objevují, je perfektní. Příklady nedokonalých polí poskytuje algebraická geometrie v charakteristice p > 0. Například pole racionálních funkcí jedné proměnné nad polem charakteristiky p je nedokonalé, protože toto pole postrádá pth kořen z x .

Dokonalé uzavření

V charakteristice p > 0 lze pole k „ zdokonalit“ tím, že k němu přidáme kořeny p r- tého stupně ( r ≥1) ze všech prvků. Výsledné pole se nazývá dokonalý uzávěr k a obvykle se označuje . $k^{p^{-\infty ))$

Z hlediska univerzální vlastnosti je dokonalým uzavřením kruhu charakteristiky dokonalý kruh charakteristiky spolu s homomorfismem kruhu tak, že pro jakýkoli dokonalý kruh charakteristiky s homomorfismem existuje jedinečný homomorfismus takový, že . Dokonalý uzávěr existuje pro libovolný okruh [2] , existuje tedy funktor dokonavý a je levým adjunktem zapomnětlivého funktoru z kategorie dokonalých okruhů do kategorie okruhů. $A$ $p$ $A_{p}$ $p$ ${\displaystyle u:A\to A_{p))$ $B$ $p$ $v:A\to B$ $f:A_{p}\to B$ $v=f\circ u$

Poznámky

↑ Serre, 1979 , oddíl II.4
↑ Bourbaki, 2003 , oddíl V.5.1.4, strana 111

Literatura

Bourbaki N. Algebra. Část 2. Polynomy a tělesa. Objednané skupiny - M .: Nauka, 1965
Bourbaki, Nicolas (2003), Algebra II , Springer, ISBN 978-3-540-00706-7
Brinon, Olivier & Conrad, Brian (2009), poznámky letní školy CMI k teorii p-adic Hodge , < http://math.stanford.edu/~conrad/papers/notes.pdf > . Staženo 5. února 2010.
Serre, Jean-Pierre (1979), Místní pole , sv. 67 (2 ed.), Postgraduální texty z matematiky, Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90424-5
Cohn, P. M. (2003), Základní algebra: Skupiny, kruhy a pole
Matsumura, H (2003), Komutativní teorie prstenců , sv. 8 (2. vyd.), Z japonštiny přeložil M. Reid. Cambridgeská studia pokročilé matematiky