Seznam rovinných grup symetrie

Článek shrnuje informace o třídách diskrétních grup symetrie euklidovské roviny . Zde uvedené skupiny symetrie jsou pojmenovány podle tří schémat pojmenování: mezinárodní notace , orbifold notace a Coxeterova notace . V rovině existují tři typy skupin symetrie:

• 2 nekonečné rodiny skupin bodů
• 7 skupin hran - 2D skupiny hran
• 17 skupin tapet - skupiny 2D prostoru .

Skupiny symetrie bodů

V rovině je bod, který je pod každou transformací invariantní. Existují dvě nekonečné rodiny diskrétních dvourozměrných skupin bodů. Skupiny jsou definovány parametrem n , který je roven pořadí rotace podskupiny. Také parametr n se rovná indexu skupiny.

Rodina	Int. ( orbifold )	Schoenflies	Geom. [1] Coxeter	Objednat	Příklady
Cyklické skupiny	n (n•)	C n	n [n] +	n	C 1 , [ ] + (•)	C2 , [ 2 ] + (2•)	C3 , [ 3 ] + (3•)	C4 , [ 4 ] + (4•)	C 5 , [5] + (5•)	C6 , [ 6 ] + (6•)
Dihedrální skupiny	nm (*n• )	D n	n [n]	2n _	D 1 , [ ] (*•)	D 2 , [2] (*2•)	D 3 , [3] (*3•)	D 4 , [4] (*4•)	D 5 , [5] (*5•)	D 6 , [6] (*6•)

Hraniční skupina

V rovině je přímka, která se pod každou transformací proměňuje v sebe. Jednotlivé body této linie v tomto případě nesmí zůstat nehybné.

7 skupin hranic , dvourozměrné skupiny hran . Symboly Schoenflies jsou uvedeny jako nekonečné limity 7 dihedrálních skupin. Žluté oblasti představují nekonečné základní oblasti pro každý okraj.

IUC ( orbifold )	Geom.	Schoenflies	Coxeter	základní oblast	Příklad
p1 (∞•)	p1 _	C∞ _	[1,∞] +
p1m1 (*∞•)	p1	C∞v _	[1,∞]

IUC (Orbifold)	Geom.	Schoenflies	coxeter	základní oblast	Příklad
p11g (∞×)	p. g 1	S 2∞	[2 + ,∞ + ]
p11m (∞*)	p. jeden	C∞h _	[2,∞ + ]

IUC (Orbifold)	Geom.	Schoenflies	coxeter	základní oblast	Příklad
p2 (22∞)	p2 _	D∞ _	[2,∞] +
p2mg (2*∞)	p2 g	D∞d _	[2 + ,∞]
p2mm (*22∞)	p2	D∞h _	[2,∞]

Skupiny tapet

17 skupin tapet s konečnými základními plochami, uspořádaných podle mezinárodní notace , orbifold notace a Coxeter notace a klasifikovaných 5 Bravaisovými mřížkami v rovině: čtvercové , šikmé (rovnoběžník), šestiúhelníkové (kosočtverce s úhly 60 stupňů) , obdélníkový a kosočtverečný.

Skupiny p1 a p2 se zrcadlovou symetrií se vyskytují ve všech třídách. Přidružená čistá Coxeterova skupina odrazů je uvedena pro všechny třídy kromě těch šikmých.

čtverec [4,4], IUC ( Orb. ) Geom. Coxeter základní oblast p1 (°) p 1 p2 ( 2222) p2 [4,1 + ,4] + [1 + ,4,4,1 + ] + pgg (22× ) pg 2 g [4 + ,4 + ] pmm (*2222) p2 [4,1 + ,4] [1 + ,4,4,1 + ] cmm (2*22) c2 [(4,4,2 + )] p4 ( 442) p4 [4,4] + p4g (4*2) p g 4 [4 + ,4] p4m (*442) p4 [4,4]

Obdélníkový [∞ h ,2,∞ v ], IUC (Orb.) Geom. coxeter základní oblast p1 (°) p 1 [∞ + ,2,∞ + ] p2 ( 2222) p2 [∞,2,∞] + pg(h) (×× ) pg 1 h: [∞ + ,(2,∞) + ] pg(v) (×× ) pg 1 v: [(∞,2) + ,∞ + ] pgm (22* ) pg 2 h: [(∞,2) + ,∞] pmg (22*) p g 2 v: [∞,(2,∞) + ] pm(h) (**) p1 h: [∞ + ,2,∞] pm(v) (**) p1 v: [∞,2,∞ + ] pmm (*2222) p2 [∞,2,∞]

Kosočtverec [∞ h ,2 + ,∞ v ], IUC (Orb.) Geom. coxeter základní oblast p1 (°) p 1 [∞ + ,2 + ,∞ + ] p2 ( 2222) p2 [∞,2 + ,∞] + cm(h) (*×) c1 h: [∞ + ,2 + ,∞] cm(v) (*×) c1 v: [∞,2 + ,∞ + ] pgg (22× ) pg 2 g [((∞,2) + ) [2] ] cmm (2*22) c2 [∞,2 + ,∞] Rovnoběžník (šikmý) p1 (°) p 1 p2 ( 2222) p2

Šestihranný / trojúhelníkový [6,3],/ [3 [3] ], p1 (°) p 1 p2 ( 2222) p2 [6,3 ] cmm (2*22) c2 [6,3] ⅄ p3 ( 333) p3 [1 + ,6,3 + ] [3 [3] ] + p3m1 (*333) p3 [1 + ,6,3] [3 [3] ] p31m (3*3) h3 [ 6,3+ ] p6 ( 632) p6 [6,3] + p6m (*632) p6 [6,3]

Vztah podskupin tapet

V níže uvedené tabulce je na průsečíku řádku odpovídajícího skupině a sloupce odpovídajícího skupině , minimální index podskupiny izomorfní k . Diagonála obsahuje minimální index správné podskupiny izomorfní k okolní skupině.

Viz také

• Seznam sfér sférické symetrie
• Hyperbolická rovina — Hyperbolické skupiny symetrie

Poznámky

1. ↑ Hestenes, Holt, 2007 .
2. ↑ H.S.M. Coxeter, W.O.J. Moser.  Generátory a vztahy pro diskrétní skupiny. Berlin: Springer, 1972. § 4.6, tabulka 4

Literatura

• D. Hestenes , J. Holt. Skupiny krystalografického prostoru v geometrické algebře // Journal of Mathematical Physics .. - 2007. -T. 48, 023514.
• John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Symetrie věcí. - A. K. Peters, 2008. - ISBN 978-1-56881-220-5 . (Orbifold notace pro mnohostěny, euklidovské a hyperbolické obklady)

• John H. Conway, Derek A. Smith. O čtveřicích a oktonionech: Jejich geometrie, aritmetika a symetrie. - Natick, MA: A. K. Peters, Ltd., 2003. - ISBN 978-1-56881-134-5 .
• Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
  • (Příspěvek 22) HSM Coxeter, pravidelné a polopravidelné polytopy I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2.10]
  • (Příspěvek 23) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  • (Příspěvek 24) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
• Coxeter, HSM a Moser, generátory WOJ a vztahy pro diskrétní skupiny. - New York: Springer-Verlag, 1980. - ISBN 0-387-09212-9 .
• NW Johnson . Kapitola 11: Konečné skupiny symetrie // Geometrie a transformace. — 2015.

Odkazy

• „Conwayův rukopis“ v notaci Orbifold (Zápis se oproti původnímu zápisu změnil, x se nyní používá místo otevřené tečky a místo uzavřené tečky se používá o)
• 17 skupin tapet