Aritmecko-geometrický průměr

Aritmecko-geometrický průměr ( aritmecko-geometrický průměr , AGS ) je hodnota určená pro dvě veličiny a jako limita posloupnosti , , kde: $A$ $b$ $\{a_{N}\}$ $\{b_{N}\}$

a_{0}=a\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad b_{0}=b

a_{1}={\frac {a_{0}+b_{0}}{2}}\quad \quad \quad \quad b_{1}={\sqrt {a_{0}b_{0}}}

a_{2}={\frac {a_{1}+b_{1}}{2}}\quad \quad \quad \quad b_{2}={\sqrt {a_{1}b_{1}}}

…

a_{N}={\frac {a_{{N-1}}+b_{{N-1}}}{2}}\quad \quad b_{N}={\sqrt {a_{{N-1 }}b_{{N-1}}}}

mají pro stejný limit: [1] [2] $N\to +\infty$

\lim _{{N\to \infty }}a_{N}=\lim _{{N\to \infty }}b_{N}=M(a,b)

AGS lze použít k rychlému výpočtu přesné periody matematického kyvadla . [3]

Modifikovaný aritmeticko-geometrický průměr ( MAGS ) dvou veličina je (společná) mez (klesající) posloupnostia (rostoucí) posloupnosti, kde,a. $X$ $y$ $\{x_{n}\}_{{n=1}}^{\infty }$ ${\displaystyle \{y_{n}\}_{n=1}^{\infty ))$ $x_{0}=x$ $y_{0}=y$ $z_{0}=0$

x_{n+1}={\frac {x_{n}+y_{n}}{2}}

y_{n+1}=z_{n}+{\sqrt {(x_{n}-z_{n})(y_{n}-z_{n)))))

z_{n+1}=z_{n}-{\sqrt {(x_{n}-z_{n})(y_{n}-z_{n)))))

MAGS lze použít k rychlému výpočtu délky závitu v lineárním paralelním poli odpudivých sil.

MAGS je vyjádřitelný pomocí AGS, takový nepřímý výpočet MAGS je výhodnější při výpočtu délky obvodu elipsy s poloosami a : $L$ $A$ $b$

L={\frac {2\pi N(a^{2};b^{2})}{M(a;b))),

kde jsou AGS čísel a , a jsou ČASTY čísel a . Takový vzorec tedy vyjadřuje Gaussovu metodu s kvadratickou konvergencí pro výpočet úplného eliptického integrálu druhého druhu. [3] $M(x;y)$ $X$ $y$ $N(x;y)$ $X$ $y$

Aplikace

Pomocí AGS a MAGS je možné vypočítat hodnoty některých transcendentálních funkcí a čísel $\pi$ . Například podle Gauss-Salaminova vzorce [4] :

\pi ={\frac {2M\left(1;{\sqrt {2}}\right)^{2}}{1-\sum _{j=1}^{\infty }2^{ j}c_{j}^{2}}},

kde , , . $c_{j}={\frac {1}{2}}\left(a_{j-1}-b_{j-1}\right)$ $a_{0}=1$ $b_{0}={\sqrt {2}}$

Zároveň, pokud vezmeme:

a_{0}=1,\quad \quad \quad b_{0}=\cos \alpha

pak

\lim _{N\to \infty }a_{N}={\frac {\pi }{2K(\sin \alpha )))

kde je úplný eliptický integrál $K(\alpha)$

K(\alpha )=\int _{0}^{\frac {\pi }{2))(1-\alpha ^{2}\sin ^{2}\theta )^{-{\ frac {1}{2}}}d\theta

To znamená, že je vyjádřen vzorcem: $\pi$

\pi ={\frac {M({\sqrt {2)))^{2}}{N(2)-1}}

kde je AGS 1 a , a je MAGS 1 a [3] . $M(x)$ $X$ $N(x)$ $X$

S využitím této vlastnosti, stejně jako Landenových transformací [5] , Brent navrhl [6] první AGS-algoritmy pro rychlý výpočet nejjednodušších transcendentálních funkcí ( ). V budoucnu ve studiu a používání algoritmů AGS pokračovalo mnoho autorů [7] $e^{x},\cos x,\sin x$

Poznámky

↑ B.C. Carlson. Algoritmy zahrnující aritmetické a geometrické prostředky (anglicky) // Amer. Matematika. Měsíční : deník. - 1971. - Sv. 78 . - str. 496-505 . - doi : 10.2307/2317754 .
↑ B.C. Carlson. Algoritmus pro výpočet logaritmů a arkustangens // Math.Comp . : deník. - 1972. - Sv. 26 , č. 118 . - str. 543-549 . - doi : 10.2307/2005182 .
↑ 1 2 3 Adlaj, Semjon (září 2012), Výmluvný vzorec pro obvod elipsy , Notices of the AMS vol . 76 (8): 1094–1099, ISSN 1088-9477 , doi : 107 /noti1 . ://www.ams.org/notices/201208/rtx120801094p.pdf > Archivováno 6. května 2016 na Wayback Machine
↑ E. Salamin Výpočet pomocí aritmeticko-geometrického průměru // Math . Comp. : deník. - 1976. - Sv. 30 , č. 135 . - S. 565-570 . - doi : 10.2307/2005327 . $\pi$
↑ Landen, J. XXVI. Zkoumání obecné věty pro nalezení délky libovolného oblouku jakékoli kuželové hyperboly pomocí dvou eliptických oblouků s některými dalšími novými a užitečnými větami z nich odvozenými // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. - 1775. - Sv. 65 . - str. 283-289 . — ISSN 0261-0523 . - doi : 10.1098/rstl.1775.0028 .
↑ R.P. Brent . Rychlé vyhodnocení elementárních funkcí s vícenásobnou přesností // J. Assoc. Počítat. Mach. : deník. - 1976. - Sv. 23 , č. 2 . - S. 242-251 . - doi : 10.1145/321941.321944 .
↑ JM Borwein a PB Borwein Pí a valná hromada . - New York: Wiley, 1987. - ISBN 0-471-83138-7 .

Znamenat
Matematika	Střední mocnina ( vážená ) harmonický průměr vážený geometrický průměr vážený Průměrný vážený střední kvadratická Průměrný krychlový klouzavý průměr Aritmecko-geometrický průměr Funkce Průměr Kolmogorov znamená
Geometrie	geometrický střed Barycentrum
Teorie pravděpodobnosti a matematická statistika	Winsorized průměr průměr vzorku Očekávaná hodnota Medián Móda standardní odchylka Zkrácený průměr Podmíněné očekávání
Informační technologie	Medoid k-mediánová metoda
Věty	První střední věta Druhá střední věta Nerovnost o aritmetickém, geometrickém a harmonickém průměru
jiný	Metriky distribučního centra