Superkořen

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 7. listopadu 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

V matematice je superroot jednou ze dvou inverzních tetačních funkcí .

Stejně jako umocňování má dvě inverzní funkce ( kořen a logaritmus ), tak tetrace má dvě inverzní funkce: superroot a superlogaritmus . To je způsobeno nekomutativitou hyperoperátoru pro . Superroot není elementární funkce . $N>2$

Definice

Pro libovolné nezáporné celé číslo může být odmocnina mocniny definována jako jedno z řešení rovnice: . $n\geqslant 0$ $n$ $a>0$ ${}^{n}x=a$

Superroot je nejednoznačná funkce. Takže for a rovnice tvaru má dva odmocniny od , a oba budou kladné a menší než . Tato dualita hodnot se vysvětluje tím, že funkce není monotónní . $n=2$ $e^{-{\frac {1}{e}}}\leqslant a<1$ ${}^{2}x=a$ $A$ $jeden$ $f(x)={}^{n}x$

Ne vždy je možné extrahovat superkořen ani z kladného čísla, což je důsledek přítomnosti globálního minima pro funkce formuláře. Například když má derivace funkce jeden extrémní bod , což znemožňuje najít hodnoty odmocniny druhého stupně od kdy (viz graf). $f(x)={}^{n}x$ $n=2$ $f(x)={}^{2}x$ $x={\frac {1}{e}}$ $X$ $0<x<{\biggl (}{\frac {1}{e}}{\biggr )}^{\frac {1}{e}}$

Příklady

Příklady extrahování superrootu z kladného reálného čísla:

Super 4. odmocnina z 65536 je 2, protože $2^{2^{2^{2))}=65536;$
Odmocnina supersekundy 27 je 3, protože $3^{3}=27;$
Druhý nadkořen má dva významy: a , od $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ${\frac {1}{2))$ ${\frac {1}{4))$ ${\biggl (}{\frac {1}{4}}{\biggr )}^{\frac {1}{4}}={\biggl (}{\frac {1}{2^{ 2}}}{\biggr )}^{\frac {1}{4}}={\biggl (}{\frac {1}{2}}{\biggr )}^{2\times {\frac { 1}{4}}}={\biggl (}{\frac {1}{2}}{\biggr )}^{\frac {1}{2}}={\frac {\sqrt {2}} {2}}.$

Kořen supersekund a Lambertova funkce

Funkce superroot druhého stupně je vyjádřena pomocí Lambertovy W-funkce [1] . Totiž, řešení rovnice je $x^{x}=a$

{\displaystyle \mathrm {ssrt} (a)=e^{W(\mathrm {ln} (a))))

Protože Lambertova funkce je vícehodnotová funkce na intervalu , pak je extrakce odmocniny druhého stupně nejednoznačná na . $W(z)$ $(-{\frac {1}{e}},0)$ $(e^{-1/e},1)$

Otevřené problémy

To není známé pro nějaké celé číslo zda kořen rovnice je racionální , algebraický iracionální , nebo transcendentální číslo . $n>3$ ${}^{n}x=2$

Poznámky

↑ Corless, R.M.; Gonnet, G.H.; Zajíc, DEG; Jeffrey, DJ; Knuth, DE O funkci Lambert W (neurčitá) // Pokroky ve výpočetní matematice. - 1996. - T. 5 . - S. 333 . - doi : 10.1007/BF02124750 .

Odkazy

Místo o tetration Andrew Robins .
Web o tetaci od Daniela Geislera .
Diskusní fórum Tetracy .
Kuzněcov D. Tetrace jako speciální funkce // Vladikavkaz Mathematical Journal. — 2010.