Sférická Pythagorova věta

Sférická Pythagorova věta je věta, která stanoví vztah mezi stranami pravoúhlého sférického trojúhelníku .

Prohlášení a důkaz

Sférická Pythagorova věta je formulována následovně [1] :

Kosinus přepony pravoúhlého sférického trojúhelníku se rovná součinu kosinus jeho ramen.

Důkaz bude proveden pomocí trojbokého úhlu [1] OA 1 B 1 C 1 se stranami (paprsky) OA 1 , OB 1 , OC 1 a vrcholem v bodě O, rovinnými úhly A 1 OC 1 a C 1 OB 1 se rovná ramenům b a a tohoto trojúhelníku, rovinný úhel A 1 OB 1 je roven jeho přeponě c, úhel přepony mezi stěnami A 1 OC 1 a C 1 OB 1 je 90 stupňů a další dva dihedrální úhly se rovnají odpovídajícím úhlům sférického pravoúhlého trojúhelníku. Tento trojboký úhel protíná rovina A 1 B 1 C 1 kolmá k paprsku OB 1 . Potom budou úhly A 1 C 1 O a A 1 C 1 B 1 pravé.

všimněte si, že

Odtud

Q.E.D.

Pokud předpokládáme, že sférická kosinová věta již byla prokázána, lze z ní okamžitě získat vzorec pro sférickou Pythagorovu větu tak, že pro přeponu daného pravoúhlého sférického trojúhelníku napíšeme sférickou kosinovou větu a do výsledného výrazu jednoduše dosadíme úhel 90 stupňů, jehož kosinus je nula.

Důsledky a aplikace

Jak poloměr koule inklinuje k nekonečnu, sférický Pythagorův teorém se stává Pythagorovým teorémem planimetrie . Protože je poloměr Země velký, při malých vzdálenostech se pravoúhlé trojúhelníky na povrchu Země (používané například k měření vzdáleností a úhlů na zemi) prakticky řídí Pythagorovou větou o planimetrii [2] , zatímco pro velké vzdálenosti srovnatelné s poloměrem Země je již nutné aplikovat sférickou Pythagorovu větu.

Pomocí sférické Pythagorovy věty lze získat vzorce pro rozdíl v zeměpisných délkách a vzdálenostech mezi body na zemském povrchu a následně odpovídající vzorce pro vzdálenosti a souřadnice bodů na nebeské sféře .

Ze sférické Pythagorovy věty vyplývá, že v pravoúhlém sférickém trojúhelníku je počet stran menší než 90 stupňů lichý a počet velkých sudý [1] . Pokud jsou tedy obě větve pravoúhlého sférického trojúhelníku větší než 90 stupňů, pak je jeho přepona menší než 90 stupňů, to znamená, že v tomto případě je přepona kratší než obě větve - pozice, která je nemožná pro pravoúhlý trojúhelník v rovině.

Historie

Sférickou Pythagorovu větu znal i Al-Biruni , který zároveň neznal sférickou kosinusovou větu, proto použil sférickou Pythagorovu větu a sinusovou větu k vyřešení alespoň dvou problémů: určení rozdílu v zeměpisných délkách dvou body na povrchu Země jejich zeměpisnými šířkami a vzdáleností mezi nimi a určení vzdálenosti mezi dvěma body na povrchu Země jejich zeměpisnými šířkami a délkami [3] :81 .

Viz také

• Pythagorova věta

Poznámky

1. ↑ 1 2 3 Štěpánov N.N. Sférická Pythagorova věta // Sférická trigonometrie . - M. - L .: OGIZ , 1948. - S.  42 -44. — 154 str.
2. ↑ John McCleary. Geometrie z odlišného pohledu . - Cambridge University Press , 1994. - S. 6. - 308 s. Archivováno 22. ledna 2021 na Wayback Machine
3. ↑ Rosenfeld B.A., Rozhanskaya M.M. Astronomické dílo Al-Biruniho "Kanon Mas'ud"  // Historický a astronomický výzkum . - M .: Nauka , 1969. - Vydání. x _ - S. 63-96 . Archivováno z originálu 10. září 2010.