Sférické kosinové věty

První a druhý sférický kosinusový teorém založí vztahy mezi stranami a opačnými úhly sférického trojúhelníku .

Formulace

Kosinové věty pro sférický trojúhelník se stranami a , b , c a úhly A , B , C jsou následující:

\cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C,

\cos A=-\cos B\cos C+\sin B\sin C\cos a.

Tyto dvě věty jsou vzájemně duální, protože úhly a strany libovolného sférického trojúhelníku jsou doplněny k přímému úhlu stranami a úhly odpovídajícího polárního trojúhelníku . Proto postačí dokázat jeden z nich.

Důkaz

Důkaz bude proveden pomocí projekcí [1] . Obrázek ukazuje sférický trojúhelník ABC na kouli o poloměru R se středem v O . BP je kolmá k rovině velké kružnice procházející stranou b , BM je kolmá k OC , BN je kolmá k OA . Převrácením věty o třech kolmicích je PM kolmice k OC , PN je kolmice k OA . Všimněte si, že úhel PMB je roven π - C, navíc ON = R cos c a OM = R cos a. Dále promítneme křivku OMPN na čáru obsahující ON .

{\mbox{pr }}ON={\mbox{pr }}OM+{\mbox{pr }}MP+{\mbox{pr }}PN

PN\perp OA\Rightarrow {\mbox{pr }}PN=0

{\mbox{pr }}OM=OM\cos b=R\cos a\cos b

{\mbox{pr }}MP=PM\cos(\pi -({\frac {\pi }{2}}-\angle MPN))=PM(-\sin \angle MPN)

=BM\cos \angle PMB(-\sin b)=BM\cos(\pi -C)(-\sin b)=R\sin b\sin a\cos C

Dosadíme poslední tři výrazy a výše uvedený výraz ON = R cos c do prvního výrazu a dostaneme:

\cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C

Kosinové věty pro další dvě strany, tedy větu pro cos a a větu pro cos b, získáme podobně, lze je také získat přímo ze vzorce pro stranu c pomocí kruhové permutace písmen:

$a\rightarrow b\rightarrow c\rightarrow a,A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow A$

Důsledky a aplikace

Pokud je úhel C pravý, přechází první kosinová věta do sférické Pythagorovy věty :

\cos c=\cos a\cos b.

I když se pro řešení šikmých sférických trojúhelníků obvykle používají pohodlnější vzorce , pomocí kosinové věty je důležitý vzorec pro geodézii odvozen pro délku velkého kruhu - nejkratší vzdálenost mezi body na zemském povrchu se známými souřadnicemi (za předpokladu, že Země je kulový). Označme zeměpisné šířky dvou daných bodů a , rozdíl délek - , nejkratší vzdálenost mezi nimi označíme d, délku oblouku 1 stupeň - a. Pak vzorec délky ortodromy [2] : $\varphi _{A}$ $\varphi _{B}$ $\Delta \lambda _{AB}$

\cos\left (\frac{d}{a}\right)=\sin\varphi_A\cdot\sin\varphi_B+\cos\varphi_A\cdot\cos\varphi_B\cdot\cos\Delta\lambda_{AB}

Tento vzorec okamžitě získáme aplikací kosinové věty na stranu AB sférického trojúhelníku P n AB. Podobný vzorec platí pro jakýkoli kulový povrch a lze jej tedy použít i pro určení úhlové vzdálenosti mezi hvězdami pomocí jejich známých rovníkových souřadnic [3] .

Příklad 1: Určení úhlové vzdálenosti mezi dvěma svítidly na nebeské sféře

Určíme úhlovou vzdálenost (x) mezi hvězdou δ Cepheus (rovníkové souřadnice: α 1 =22h 29m, δ 1 =+58° 25′) a galaxií mlhovina Andromeda (α 2 =0h 43m, δ 2 =+41 ° 16′) na nebeské sféře. Vyjádříme α 1 ve stupních a zlomcích stupně:

\alpha_1 = \left (22+\frac{29}{60}\right )\cdot\frac{360}{24}=337^\circ,25

Podobně získáme, že α 2 =10°,75. Vyjádříme δ 1 ve stupních a zlomcích stupně:

\delta_1 = 58+\frac{25}{60}=58^\circ,42

Podobně 52 = 41°,27. Aplikujeme kosinovou větu [4] :

$\begin{align} \cos x & = \cos(90^\circ-\delta_1)\cdot\cos(90^\circ-\delta_2)+\sin(90^\circ-\delta_1)\cdot\sin (90^\circ-\delta_2)\cdot\cos(\alpha_1-\alpha_2)\\ & =\sin 58^\circ,42\cdot\sin 41^\circ,27+\cos 58^\circ, 42\cdot\cos 41^\circ,27\cdot\cos (337^\circ,25-10^\circ,75)\\ &=0,89 \end{align}$

Proto x = 27°,11.

Kosinová věta ve své druhé formě (vztah mezi třemi úhly a stranou) může být aplikována na výpočet vzájemného sklonu dvou drah, vzhledem ke sklonu každé dráhy k nějaké jiné rovině. Tento vzorec lze například použít k výpočtu sklonu oběžné dráhy Pluta vůči Neptunu pomocí sklonů jejich drah k ekliptice a zeměpisných délek jejich vzestupných uzlů.

Příklad 2: Určení vzájemného sklonu drah nebeských těles

Určíme vzájemný sklon (x) drah Pluta (sklon dráhy k ekliptice je 17°.14, délka vzestupného uzlu je 110°.30) a Neptunu (sklon dráhy k ekliptika je 1°.77, délka vzestupného uzlu je 131°.79) . V odpovídajícím sférickém trojúhelníku jsou známy dva úhly: jeden se rovná sklonu dráhy Pluta k ekliptice, druhý je přičtením sklonu dráhy Neptuna k ekliptice až o 180 stupňů. Známá je také strana sousedící s těmito rohy, která se rovná rozdílu v zeměpisných délkách vzestupných uzlů Pluta a Neptunu. Zbývá použít druhou verzi kosinové věty - pro úhly:

$\begin{align} \cos x & = -\cos(17^\circ,14)\cdot\cos(180^\circ-1^\circ,77)+\sin(17^\circ,14)\ cdot\sin(180^\circ-1^\circ,77)\cdot\cos(131^\circ,79-110^\circ,30)\\ & \approx0,9636\\ \end{align}$

Proto x≈15°,51.

Historie

Matematici středověkého východu používali při řešení specifických astronomických problémů výrok ekvivalentní sférické kosinové větě. Tyto poměry používané při určování výšky Slunce se nacházejí ve spisech Thabit ibn Korra , al-Mahani , al-Battani , Ibn Yunis , al-Biruni .

První explicitní formulaci věty dal v 15. století Regiomontanus , který ji nazval „Albategniova věta“ (po latinizovaném jménu al-Battani ).

Viz také

Poznámky

↑ Citováno podle publikace: Stepanov N. N. Vzorce pro kosinus strany // Sférická trigonometrie . - M. - L .: OGIZ , 1948. - S. 24 -28. — 154 str.
↑ Michajlov V.S., Kudryavtsev V.G., Davydov V.S. 26.2. Základní vzorce ortodromie. Způsoby nastavení // Navigace a pilot . - Kyjev, 2009. Archivní kopie ze dne 25. července 2012 na Wayback Machine
↑ Meyos J. 9. Úhlová vzdálenost mezi objekty // Astronomické vzorce pro kalkulačky. - Mir , 1988. - S. 44-46. — 168 str. — ISBN 5030009361 .
↑ Lee Kai Ming. PHYS 2021 – Fyzický vesmír . - 2010. - S. 6 . Archivováno z originálu 3. prosince 2008.

Literatura

Wentzel M. K. Sférická trigonometrie. 2. vyd., IGKL, 1948, 115s.
Matvievskaya G.P. Eseje o historii trigonometrie: Starověké Řecko. Středověký východ. Pozdní středověk. - Ed. 2. - M. : Librokom, 2012. - 160 s. - (Fyzikálně-matematické dědictví: matematika (dějiny matematiky)). — ISBN 978-5-397-02777-9 .
Stepanov N. N. Sférická trigonometrie. - L.-M., 1948.

Sférická trigonometrie
Základní pojmy	sférický trojúhelník polární trojúhelník Přebytek Bigon
Vzorce a poměry	Kosinové věty Sinusová věta Pětiprvkový vzorec Vzorec poloviční strany Napierovo mnemotechnické pravidlo Sférická Pythagorova věta Delambre vzorce Napierovy analogické vzorce Legendreova věta Řešení trojúhelníků
související témata	Sférický souřadnicový systém sférická geometrie trojboký úhel