Sférický segment

Kulový segment je plocha , část koule odříznutá od ní určitou rovinou . Rovina odřízne dva segmenty: menší segment se také nazývá kulový kruh [1] . Pokud rovina řezu prochází středem koule, pak je výška obou segmentů rovna poloměru koule a každý z těchto kulových segmentů se nazývá polokoule .

Sférický segment je geometrické těleso , část koule odříznutá od něj určitou rovinou. Povrch kulového segmentu je spojením kulového segmentu a kružnice (základna kulového segmentu), jejichž hranice se shodují.

Objem a povrch

Pokud je poloměr základny segmentu , výška segmentu je , pak objem kulového segmentu je [2] $A$ $h$

V={\frac {\pi h}{6}}(3a^{2}+h^{2}),

povrchová plocha segmentu je

A=2\pi rh

nebo

A=2\pi r^{2}(1-\cos \theta).

Parametry , a spolu souvisí vztahy $A$ $h$ $r$

r^{2}=(rh)^{2}+a^{2}=r^{2}+h^{2}-2rh+a^{2},

r={\frac {a^{2}+h^{2}}{2h}}.

Dosazení posledního výrazu do prvního vzorce pro výpočet plochy vede k rovnosti

A=2\pi {\frac {(a^{2}+h^{2})}{2h}}h=\pi (a^{2}+h^{2}).

Všimněte si, že v horní části koule (modrý segment na obrázku) ve spodní části koule je tedy výraz platný pro oba segmenty a pro objem lze zadat jiný výraz: $h=r-{\sqrt {r^{2}-a^{2))},$ $h=r+{\sqrt {r^{2}-a^{2))},$ $a={\sqrt {h(2r-h)))$

V={\frac {\pi h^{2}}{3}}(3r-h).

Vzorec pro určení objemu lze také získat integrací rotační plochy:

V=\int _{x}^{r}\pi \left(r^{2}-x^{2}\right)dx=\pi \left({\frac {2}{3} }r^{3}-r^{2}x+{\frac {1}{3}}x^{3}\right)={\frac {\pi }{3}}r^{3}(\ cos \theta +2)(\cos \theta -1)^{2}.

Aplikace

Objem spojení a průniku dvou protínajících se koulí

Objem spojení dvou koulí o poloměrech r 1 a r 2 je [3]

{\displaystyle V=V^{(1)}-V^{(2)))

kde

V^{(1)}={\frac {4\pi }{3}}r_{1}^{3}+{\frac {4\pi }{3}}r_{2}^{ 3}

je součet objemů dvou koulí odděleně, a

V^{(2)}={\frac {\pi h_{1}^{2}}{3}}(3r_{1}-h_{1})+{\frac {\pi h_{ 2}^{2}}{3}}(3r_{2}-h_{2})

je součet objemů dvou kulových segmentů, které tvoří průsečík těchto koulí. Nechť d < r 1 + r 2 je vzdálenost mezi středy koulí, pak eliminace hodnot h 1 a h 2 vede k výrazu [4] [5]

V^{(2)}={\frac {\pi }{12d))(r_{1}+r_{2}-d)^{2}\left(d^{2}+2d( r_{1}+r_{2})-3(r_{1}-r_{2})^{2}\right).

Plocha povrchu ohraničená kružnicemi různých zeměpisných šířek

Plocha povrchu ohraničená kružnicemi různých zeměpisných šířek je rozdílem mezi plochami dvou odpovídajících sférických segmentů. Pro sféru o poloměru r a zeměpisných šířkách φ 1 a φ 2 je tato plocha [6]

A=2\pi r^{2}|\sin \varphi _{1}-\sin \varphi _{2}|.

Plocha čtvercové plochy povrchu koule

Segment vyříznutý na kouli o poloměru r čtyřmi oblouky velkých kružnic se stejnou úhlovou délkou θ a párově kolmými (sférický čtverec analogický čtverci v rovině) má plochu

A=8r^{2}(1-\cos \theta /2).

Pokud je úhel θ malý (ve srovnání s 1 radiánem ), pak platí přibližná rovnost, založená na aproximaci při $\cos x\to 1-x^{2}/2$ $x\to 0:$

A\cca 8r^{2}{\frac {\theta ^{2}}{8}}=r^{2}\theta ^{2}.

Například plocha čtvercové plochy zemského povrchu ( R ⊕ = 6378 km) se stranami rovnými 1 stupni je

A(1^{\circ })=8\cdot R_{\oplus }^{2}(1-\cos 0{,}5^{\circ })\přibližně R_{\oplus }^{ 2}\cdot \left({\frac {\pi }{180}}\right)^{2}\cca 12\,391\,{\text{km}}^{2}.

1 čtvereční sekunda zemského povrchu má plochu 3600 2krát menší: A (1 ′′) ≈ 12 391 km 2 / (60 60) 2 ≈ 956 m 2 .

Zobecnění

Sekce jiných těles

Sféroidní segment se získá odříznutím části sféroidu tak, že má kruhovou symetrii (má osu rotace). Podobným způsobem je definován elipsoidní segment.

Segment hypersféry

Objem -rozměrného segmentu hypersféry s výškou a poloměrem v -rozměrném euklidovském prostoru je určen vzorcem [7] $n$ $h$ $r$ $n$

V={\frac {\pi ^{\frac {n-1}{2}}\,r^{n}}{\,\Gamma \left({\frac {n+1}{2 }}\right)}}\int \limits _{0}^{\arccos \left({\frac {rh}{r}}\right)}\sin ^{n}t\,\mathrm {d} t,

kde ( gama funkce ) je dáno $\Gamma$ $\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t.$

Výraz pro objem lze přepsat pomocí objemu jednotkové koule a hypergeometrické funkce nebo regularizované neúplné beta funkce jako $PROTI$ $n$ $C_{n}={\pi ^{n/2}/\Gamma \left[1+{\frac {n}{2}}\right]}$ ${}_{2}F_{1}$ $I_{x}(a,b)$

V=C_{n}\,r^{n}\left({\frac {1}{2}}\,-\,{\frac {rh}{r}}\,{\frac { \Gamma [1+{\frac {n}{2}}]}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma [{\frac {n+1}{2}}]}}{\,\ ,}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2)),{\tfrac {1-n}{2));{\tfrac {3}{2));\left ({\tfrac {rh}{r}}\right)^{2}\right)\right)={\frac {1}{2}}C_{n}\,r^{n}I_{(2rh -h^{2})/r^{2}}\left({\frac {n+1}{2}},{\frac {1}{2}}\right).

Vzorec pro povrchovou plochu lze zapsat jako povrchovou plochu jednotkorozměrné koule jako $A$ $n$ $A_{n}={2\pi ^{n/2}/\Gamma \left[{\frac {n}{2}}\right]}$

A={\frac {1}{2}}A_{n}\,r^{n-1}I_{(2rh-h^{2})/r^{2}}\left({ \frac {n-1}{2)),{\frac {1}{2}}\right),

kde $0\leq h\leq r.$

Dále platí následující vzorce [8] : kde $A=A_{n}p_{n-2}(q),\quad V=V_{n}p_{n}(q),$ $q=1-h/r(0\leq q\leq 1),\quad p_{n}(q)={\frac {1-G_{n}(q)/G_{n}(1 )}{2}},$

G_{n}(q)=\int \limits _{0}^{q}(1-t^{2})^{(n-1)/2}dt.

V $n=2k+1:$

G_{n}(q)=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}{\binom {k}{i}}{\frac {q^{2i+ 1 }}{2i+1}}.

Ukázalo se [9] , že pro a kde je standardní normální rozdělení . $n\to \infty$ $q{\sqrt {n}}={\text{const }}$ $p_{n}(q)\to 1-F({q{\sqrt {n}}}),$ $F()$

Literatura

A. I. Markushevich, A. Ya, Khinchin, P. S. Alexandrov. Základní pojmy sférické geometrie // Encyklopedie elementární matematiky. Kniha 4 - Geometrie . - Moskva: GIFML, 1963.

Poznámky

↑ Encyklopedie elementární matematiky, 1963 , s. 519-520.
↑ Polyanin AD, Manzhirov AV Handbook of Mathematics for Engineers and Scientists (anglicky) . - Chapman & Hall/CRC, 2007. - S. 69. - ISBN 9781584885023 . Archivováno 2. února 2017 na Wayback Machine
↑ Connolly ML Výpočet molekulárního objemu // J. Am. Chem. soc. - 1985. - Sv. 107 . - S. 1118-1124 . - doi : 10.1021/ja00291a006 .
↑ Pavani R., Ranghino G. Metoda výpočtu objemu molekuly // Výpočet . Chem. - 1982. - Sv. 6 . - S. 133-135 . - doi : 10.1016/0097-8485(82)80006-5 .
↑ Bondi A. Van der Waals objemy a poloměry // J. Phys . Chem.. - 1964. - Sv. 68 . - str. 441-451 . - doi : 10.1021/j100785a001 .
↑ Donaldson SE, Siegel SG Úspěšný vývoj softwaru . - 2. vydání .. - Upper Saddle River: Prentice Hall, Inc., 2001. - S. 354. - ISBN 0-13-086826-4 .
↑ Li S. Stručné vzorce pro plochu a objem hyperkulového uzávěru // Asian J. Math. stat. - 2011. - Sv. 4 , ne. 1 . - str. 66-70 . - doi : 10.3923/ajms.2011.66.70 .
↑ Chudnov A. M. O minimax algoritmech pro generování a příjem signálů // Problém. přenos informací - 1986. - T. 22 . - S. 49-54 . (Ruština)
↑ Chudnov A. M. Herní teoretické problémy syntézy algoritmů pro generování a příjem signálů // Problém. přenos informací - 1991. - T. 27 . - S. 57-65 . (Ruština)