Neskutečná čísla

Surreal čísla ( anglicky  surreal number ) - zobecnění obyčejných reálných čísel a nekonečných řadových čísel . Poprvé byly použity v dílech anglického matematika Johna Conwaye k popisu řady aspektů teorie her [1] .

Historie

V roce 1907 zavedl rakouský matematik Hans Hahn „Hahnovy řady“ jako zobecnění formálních mocninných řad a německý matematik Felix Hausdorff zavedl některé uspořádané množiny nazvané η α -sets pro α ordinály a zeptal se, zda kompatibilní s uspořádanou strukturou skupiny nebo pole. V roce 1962 Norman Alling použil upravenou formu Hahnovy řady ke konstrukci takových uspořádaných polí spojených s určitými ordinálními α, a když vezme α jako třídu všech ordinálních čísel v jeho konstrukci, získá třídu, která je uspořádaným polem izomorfním k neskutečným číslům [2]. .

Studium yose ve hře Go vedlo Johna Conwaye k další definici a konstrukci surrealistických čísel [3] . Conwayův design byl použit v knize Donalda Knutha z roku 1974 Surreal Numbers. Ve své knize, která má formu dialogu, Knuth razil termín „surrealistická čísla“ pro to, co Conway nazýval „pouhá čísla“ [4] . Conway později přijal Knuthovy termíny a použil je ve své knize Numbers and Games z roku 1976.

Kromě Conwaye a Knutha významně přispěl k teorii surrealistických čísel matematik Martin Kruskal . V té době již surrealistická čísla měla všechny základní vlastnosti a operace reálných čísel a zahrnovala všechna reálná čísla spolu s mnoha typy nekonečna a infinitesimál. Kruskal přispěl k základům teorie: k definici surrealistických funkcí a analýze jejich struktury [5] . Objevil také souvislost mezi neskutečnými čísly, asymptotikou a exponenciální asymptotikou. Důležitou otázkou vznesenou Conwayem, Kruskalem a Nortonem na konci 70. let a prozkoumanou s velkou houževnatostí Kruskalem je, zda všechny surrealistické funkce mají určité integrály . Kostin, Friedman a Erlich v roce 2015 na tuto otázku odpověděli záporně [6] . Analýza Kostina a kol .

Přehled

V Conwayově konstrukci [7] se surrealistická čísla staví postupně. Surreálná čísla jsou konstruována současně s binární relací  ⩽. Navíc pro libovolná dvě neskutečná čísla a buď , nebo . (Obě nerovnosti mohou platit současně, v takovém případě jsou obě ekvivalentní a označují stejné číslo.) Čísla jsou tvořena konstrukcí dvojice podmnožin již vytvořených čísel: dvojice podmnožin neskutečných čísel a taková, že všechny prvky jsou přísně menší než všechny prvky , definují nové číslo, označované , přičemž toto číslo je mezi všemi prvky a všechny prvky .

 Různé astejné číslo, i kdyždefinovatmohouapodmnožiny mohou definovat stejná čísla: Takže, přísně vzato, surrealistická čísla jsou třídy ekvivalence reprezentací formy s ohledem na vztah ekvivalence.

V první fázi výstavby ještě nejsou žádná čísla, takže můžete použít pouze prázdnou sadu : . Tato reprezentace, kde a jsou prázdné, se nazývá 0. Následující kroky dávají tvary jako:

, , ,

stejně jako

, , .

Celá čísla jsou tedy podmnožinou neskutečných čísel. (Výše uvedené identity jsou definice v tom smyslu, že pravá strana je název pro levou stranu). Podobně lze sestavit následující čísla:

, ,

a tak dále. Všechna dyadická racionální čísla (racionální čísla, jejichž jmenovatelé jsou mocniny 2) jsou tedy obsažena v surreálných číslech.

Po nekonečném počtu kroků jsou k dispozici nekonečné podmnožiny (přesnější definice vyžaduje pojem transfinitní indukce ), takže jakékoli reálné číslo a může být reprezentováno , kde  je množina všech dyadických racionálních čísel menší než , a  je množina všech dyadických racionálních čísel, velká (podobně jako v Dedekindově sekci ). Ve třídě surreálných čísel lze tedy konstruovat i reálná čísla.

Existují také názory jako

, ,

kde  je transfinitní číslo větší než všechna celá čísla a  je nekonečně malé větší než 0, ale menší než jakékoli kladné reálné číslo ( hyperreálné číslo ). Kromě toho lze standardní aritmetické operace (sčítání, odčítání, násobení a dělení) rozšířit i na tato nereálná čísla způsobem, který změní množinu neskutečných čísel na uspořádané pole, takže lze mluvit o nebo atd.

Konstrukce

Surrealistická čísla jsou konstruována induktivně jako třídy ekvivalence dvojic množin surrealistických čísel, omezená podmínkou, že každý prvek první množiny musí být menší než jakýkoli prvek z druhé množiny. Konstrukce se skládá ze tří na sobě závislých částí: konstrukčních pravidel, srovnávacích pravidel a ekvivalenčních pravidel.

Formuláře

Formou surrealistického čísla je pár množin surrealistických čísel, nazývaných jeho levá a pravá množina. Tvar s levou množinou L a pravou množinou R se zapisuje jako { L | R }. Když jsou L a R uvedeny jako seznam prvků, závorky kolem nich mohou být vynechány. Jedna nebo obě sady tvarů mohou být prázdné. Formulář {{} | {}} s levou a pravou prázdnou množinou se píše { | }.

Formuláře čísel

Návrhové pravidlo

Formulář { L | R } je číselné, pokud je průsečík L a R prázdná množina a jakýkoli prvek R je větší než kterýkoli prvek L , podle vztahu pořadí ⩽ daného pravidlem níže.

Třídy ekvivalence číselného tvaru

Číselné tvary jsou umístěny ve třídách ekvivalence; každá třída ekvivalence je neskutečné číslo. Prvky levé a pravé množiny formy jsou přesně převzaty z univerza [8] surreálných čísel (nikoli forem, ale tříd ekvivalence).

Pravidlo ekvivalence

Dvě číselné formy x a y jsou tvary stejného čísla (jsou ve stejné třídě ekvivalence) právě tehdy, když x ⩽ y a y ⩽ x .

Definice vztahu ⩽ bude uvedena níže.

Jinými slovy, vztah řádu je antisymetrický , to znamená, že výraz x = y (tj. x ⩽ y a y ⩽ x jsou oba pravdivé) musí být pravdivý pouze tehdy, když x a y jsou stejný objekt. To neplatí pro surrealistické číselné formy, ale platí to pro surrealistická čísla (třídy ekvivalence).

Třída ekvivalence zahrnující { | } se nazývá 0; také { | } je tvar neskutečného čísla 0.

Objednávka

Rekurzivní definice pořadí pro surrealistické tvary je dána takto:

Nechť číselné tvary x = { X L | XR } a y = { Y L | Y R }, pak x ≤ y právě tehdy, když:

Porovnání y ⩽ c pro tvar y a surrealistické číslo c je určeno výběrem libovolného tvaru z z třídy ekvivalence c a kontrolou y ⩽ z ; podobně pro c ⩽ x a pro srovnání b ⩽ c dvou neskutečných čísel.

Indukce

Tato skupina definic je rekurzivní a vyžaduje určitou matematickou indukci k definování vesmíru objektů (tvarů a čísel), které se v nich vyskytují. Jedinými surrealistickými čísly dosaženými prostřednictvím „konečné indukce“ jsou binární racionální čísla . Širší vesmír je dosažitelný pomocí transfinitní indukce .

Indukční pravidlo

Základní případ je ve skutečnosti speciální případ indukčního pravidla, přičemž 0 je označení pro "nejmenší ordinální číslo". Protože neexistuje žádné S i s i < 0, výraz je prázdná množina; jedinou podmnožinou prázdné množiny je prázdná množina, a tak S 0 sestává z jediné surrealistické formy { | } z třídy ekvivalence 0.

Pro každé konečné ordinální číslo n je množina dobře uspořádaná s ohledem na srovnání surrealistických čísel.

První aplikace pravidla indukce dává tři číselné tvary { | 0 } < { | } < { 0 | } (Formát { 0 | 0 } není číselný, protože 0 ⩽ 0). Třída ekvivalence obsahující { 0 | } je označena 1 a třída ekvivalence obsahující { | 0}, označeno −1. Tyto tři zápisy mají zvláštní význam v axiomech, které definují kruh – jsou neutrální sčítání (0), neutrální násobení (1) a převrácené hodnoty sčítání k 1 (−1). Aritmetické operace definované níže jsou v souladu s těmito názvy.

Pro každé i < n jsou všechna čísla obsažená v také obsažena v (jako nadmnožiny jejich reprezentací v ) (V našem konstrukčním pravidle se používá podmíněný výraz pro sjednocení všech předchozích, namísto jednoduššího tvaru , takže definice a tato vlastnost také dávají smysl, když n je limitní ordinál ). Čísla v tom jsou nadmnožina nějakého čísla v být říkán k byli “zděděni od generace i ”. Nejmenší hodnota α, pro kterou se dané neskutečné číslo objeví, se nazývá jeho „narozeniny“ . Například narozeniny 0 jsou 0 a narozeniny −1 jsou 1.

Druhá iterace konstrukčního pravidla dává následující pořadí tříd ekvivalence:

{ | -1 } = { | −1, 0 } = { | −1, 1 } = { | −1, 0, 1}

< { | 0 } = { | 0, 1} < { −1 | 0 } = { −1 | 0, 1} < { | } = { −1 | } = { | 1 } = { −1 | jeden } < { 0 | 1 } = { −1, 0 | jeden } < { 0 | } = { −1, 0 | } < { 1 | } = { 0, 1 | } = { −1, 1 | } = { −1, 0, 1 | }.

Srovnání těchto tříd ekvivalence je konzistentní bez ohledu na volbu formy. Je vidět, že:

  1. Jsou tam čtyři nová neskutečná čísla. Dva z nich obsahují "extrémní" tvary: { | −1, 0, 1 }, která zahrnuje všechna čísla z předchozích generací ve své pravé množině, a { −1, 0, 1 | } - v levé sadě. Jiné mají tvar, který rozděluje všechna čísla z předchozích generací do dvou neprázdných sad.
  2. Každé surrealistické číslo x , které existovalo v předchozí „generaci“, existuje i v této generaci a dostává minimálně jednu novou formu: rozdělení všech čísel jiných než x z předchozích generací do levé množiny (všechna čísla menší než x ) a do pravá sada ( všechna čísla jsou větší než x ).
  3. Třída ekvivalence čísla závisí pouze na maximálním prvku jeho levé množiny a minimálním prvku jeho pravé množiny.

Neformální výklady { 1 | } a { | −1 } — „číslo bezprostředně za 1“ a „číslo před −1“; jejich třídy ekvivalence jsou označeny 2 a −2. Neformální interpretace { 0 | 1 } a { −1 | 0 } je "číslo na půli cesty mezi 0 a 1" a "číslo na půli cesty mezi -1 a 0"; Jejich třídy ekvivalence jsou označeny 1/2 a −1/2. Tyto zápisy budou také v souladu s níže uvedenými definicemi surrealistického sčítání a násobení. 

Třída ekvivalence v každém kroku n může být charakterizována její n -úplnou formou (která obsahuje co nejvíce prvků v levé a pravé množině). Buď tato plná forma obsahuje všechna čísla z předchozích generací, v takovém případě se jedná o první generaci, ve které se toto číslo vyskytuje, nebo obsahuje kromě jednoho všechna čísla z předchozích generací, v takovém případě se jedná o nový tvar stejného čísla. . U těchto "starých" čísel zachováme zápis předchozí generace a dále zapíšeme pořadí pomocí starého a nového zápisu:

−2 < −1 < −1/2 < 0 < 1/2 < 1 < 2.

Třetí pozorování se vztahuje na všechna neskutečná čísla s konečnou levou a pravou množinou. (U nekonečných levých nebo pravých množin to platí v upraveném tvaru, protože nekonečné množiny nemusí obsahovat maximální nebo minimální prvek.) Číslo {1, 2 | 5, 8} je tedy ekvivalentní {2 | 5}; Lze určit, že se jedná o formuláře 3 pomocí níže popsané vlastnosti narozenin, která je důsledkem výše uvedených pravidel.

narozeninový majetek

Tvar x = { L | R } vyskytující se v generaci n představuje číslo zděděné z dřívější generace tehdy a pouze tehdy, pokud existuje nějaké číslo v S i pro i  <  n , které je větší než všechny prvky L a menší než všechny prvky R. (Jinými slovy, pokud jsou L a R odděleny číslem vytvořeným dříve, pak x není nové číslo, ale již bylo vytvořeno.) Jestliže x představuje číslo z libovolné generace před n , pak existuje nejmenší taková generace i a alespoň jedno číslo y všechno nejlepší k narozeninám i , mezi L a R . x je tvar tohoto čísla y , jinými slovy leží ve třídě ekvivalence v S n , což je nadmnožina reprezentace y v generaci i .

Aritmetika

Sčítání , reciproké (reciproké sčítání), násobení a reciproké (reciproké násobení) surreálných čísel ve tvaru x = { X L | XR } a y = { Y L | Y R } jsou definovány čtyřmi rekurzivními vzorci

Doplnění

Definice sčítání je dána rekurzivním vzorcem: , kde

Tento vzorec funguje na principu sčítání jednoho z tvarů s čísly převzatými z jedné z množin druhého tvaru. To by mělo být chápáno jako výsledek takové operace s jakoukoli formou převzatou z třídy ekvivalence čísel. To má samozřejmě smysl pouze v případě, že výsledek takového jednání nezávisí na volbě konkrétního zástupce třídy číselné ekvivalence. To lze dokázat induktivně na základě tří tvrzení:

0 + 0 = { | } + { | } = { | } = 0 x + 0 = x + { | } = { X L + 0 | XR + 0} = { X L | XR } = x 0 + y = { | } + y = { 0 + Y L | 0 + Y R } = { Y L | YR } = y

(Poslední dva výroky jsou samy dokázány induktivně prostřednictvím prvního, takže ve skutečnosti je základ indukce redukován pouze na první výrok)

Opačné číslo

Opačné číslo x = { X L | X R } je definováno:

kde opak množiny čísel S je definován jako množina opačných prvků množiny S:

Podobně jako v předchozím zde bereme opak nikoli tvarů, ale čísel, a důkaz, že opačné číslo nezávisí na volbě jeho tvaru, se provádí induktivně se základem:

-0 = - { | } = { | } = 0.

Dále se opět nebudeme zmiňovat o jemnostech spojených s nutností vybrat zástupce třídy číselné ekvivalence.

Násobení

V tomto vzorci jsou výrazy, které zahrnují operaci a množinu, například . Tím je třeba chápat množinu sestávající ze všech možných výsledků výpočtu výsledků těchto operací při převzetí jednoho prvku z každé z množin ve výrazu, a pokud je prvek z množiny převzat v jedné části výrazu, pak v druhá část stejného výrazu ze stejné množiny by měla být stejný prvek je převzat.

Odvolání

Převrácená hodnota násobení k číslu je definována jako:

for positive a v tomto vzorci se používají pouze kladné výrazy (zbytek se ignoruje), ale jsou vždy kladné.

Všimněte si, že tento výraz, který definuje , používá prvky levé i pravé sady stejného čísla . Definice je ve skutečnosti induktivní: v každém novém kroku se do levé a pravé sady přidávají nové prvky na základě již přidaných. [7] :21 To je zcela přirozené, pokud si pamatujeme, že pouze dyadická racionální čísla mohou být vyčerpána konečnými množinami.

Pro zápornou hodnotu je inverzní hodnota definována jako .

Jestliže , pak inverze násobením pro něj není definována.

Konzistence

Lze ukázat, že definice sčítání, odčítání a násobení jsou konzistentní v tom smyslu, že:

Na základě výše uvedeného se lze ujistit, že čísla nalezená v prvních několika generacích byla správně pojmenována. Indukční pravidlo lze nadále používat k získání dalších generací neskutečných čísel:

S 0 = { 0} S 1 = { −1 < 0 < 1 } S 2 = { −2 < −1 < − 1 / 2 < 0 < 1 / 2 < 1 < 2} S 3 = { -3 < -2 < - 3 / 2 < -1 < - 3 / 4 < - 1 / 2 < - 1 / 4 < 0 < 1 / 4 < 1 / 2 < 3 / 4 < 1 < 3 / 2 < 2 < 3 } S 4 = { -4 < -3 < ... < - 1 / 8 < 0 < 1 / 8 < 1 / 4 < 3 / 8 < 1 / 2 < 5 / 8 < 3 / 4 < 7 / 8 < 1 < 5 / 4 < 3 / 2 < 7 / 4 < 2 < 5 / 2 < 3 < 4 }

Aritmetický uzávěr

Pro jakékoli přirozené číslo ( konečnou ordinální řadovou ) jsou všechna čísla v Sn dyadická racionální, to znamená, že je lze zapsat jako neredukovatelný zlomek tvaru , kde aab jsou celá čísla a 0 ≤ b < n .

Množinu všech nadreálných čísel vyskytujících se v nějakém S n s konečným n lze označit jako S * = . Je možné vytvořit tři množiny S 0 = { 0 }, S + = a S − = , jejichž sjednocením bude S * . Žádné S n není samo uzavřeno při sčítání a násobení (kromě S 0 ), ale S * je; je podkruh racionálních čísel obsahující všechna dyadická racionální čísla.

Existuje nekonečně mnoho pořadových čísel β, takže množina surrealistických čísel s narozeninami menšími než β je uzavřena aritmetickými operacemi. [9] Pro libovolné ordinální α je množina surrealistických čísel s narozeninami β = ω α uzavřena sčítáním a tvoří grupu; všechno nejlepší k narozeninám menší než ω ω α je uzavřeno pod násobením a tvoří prstenec [10] ; a všechno nejlepší k narozeninám menší než číslo epsilon ε α je uzavřeno s ohledem na převrácenou hodnotu a tvoří pole. Ty jsou také uzavřeny pod exponenciální funkcí zavedenou Kruskalem a Gonchorem. [9] [11] :ch. 10 [9]

Vždy je však možné sestrojit surrealistické číslo větší než jakýkoli prvek množiny (přidáním množiny na levou stranu konstruktoru), takže množina všech surrealistických čísel je vlastní třída . Spolu s řádem a algebraickými operacemi tvoří uspořádané pole , s výhradou, že netvoří množinu. Ve skutečnosti je to velmi speciální uspořádané pole: největší. Jakékoli jiné uspořádané pole může být vloženo do neskutečných čísel. Třída všech neskutečných čísel je označena .

Nekonečno

Definujme S ω jako množinu všech surreálných čísel získaných pomocí konstrukčního pravidla pomocí podmnožin S * . (Toto je stejný indukční krok jako dříve a ordinální ω je nejméně ordinální větší než všechna přirozená čísla; sjednocení množin objevující se v indukčním kroku je nyní nekonečným sjednocením konečných množin a takový krok lze provést pouze v teorii množin, která to umožňuje). Jedinečné, ve srovnání se vším, co bylo předtím, nekonečně velké kladné číslo se ukáže být v S ω :

S ω také obsahuje objekty, které jsou racionálními čísly . Například ω-úplná forma 1/3  je :

.

Součin tohoto tvaru 1/3 s libovolným tvarem 3 je tvar, jehož levá sada obsahuje pouze čísla menší než 1 a pravá sada obsahuje pouze čísla větší než 1; a z narozeninové vlastnosti vyplývá, že tento produkt je pak tvarem čísla 1.

Nejen, že se všechna ostatní racionální čísla objevují v S ω ; také všechna chybějící reálná čísla . Například,

.

Mezi těmito konstrukcemi a sekcemi Dedekind existuje určitá souvislost . Conway v podstatě všechny konstrukce surrealistických čísel popisuje jako zobecnění myšlenky sekcí Dedekind. [12]

Jediná nekonečna v S ω jsou ω a −ω; ale v S ω jsou další neplatná čísla , která jsou „mezi“ těmi skutečnými. Uvažujme nejmenší kladné číslo v S ω :

.

Toto číslo je větší než nula, ale menší než všechna binární racionální čísla. To znamená, že jde o infinitezimální číslo , často označované ε. ω-úplná forma ε (respektive -ε) je stejná jako ω-úplná forma 0, kromě toho, že 0 je zahrnuta v levé (respektive pravé) množině. Jediné "skutečné" infinitesimály v S ω jsou ε a jeho opak navíc -ε; jejich součet s libovolným dyadickým racionálním číslem y tvoří čísla y ±ε, která jsou rovněž obsažena v S ω .

Vztah mezi ω a ε můžete objevit vynásobením určitých forem a získáte:

ω · ε = { ε · S + | ω · S + + S * + ε · S * }.

Tento výraz je definován pouze v teorii množin, která umožňuje transfinitní indukci až . V takovém systému lze ukázat, že všechny prvky levé množiny ω ε jsou kladná nekonečně malá čísla a všechny prvky pravé množiny jsou kladná nekonečně velká čísla, a pak ω ε musí být nejstarší kladné číslo, tzn. 1. Proto

1 / ε = ω.

Někteří autoři systematicky používají místo symbolu ε ω −1 .

Obsah S ω

Pro libovolné x = { L | R } v S ω platí přesně jedno z následujících:

S ω není algebraické pole, protože není uzavřeno aritmetickými operacemi; například ω+1, jehož tvar nepředstavuje žádné číslo v S ω . Největší podmnožinou S ω , která je uzavřena pod (konečnými aplikacemi) aritmetických operací, je pole reálných čísel získaných vyřazením ±ω, infinitezimálních ±ε a infinitezimálních „sousedů“ y ±ε nenulových dyadických racionalit y .

Tato konstrukce reálných čísel se liší od Dedekindových řezů v klasické analýze v tom, že začíná dyadickými racionálními čísly spíše než všemi racionálními čísly, a také přirozeně identifikuje dyadická racionální čísla v S ω s jejich formami v předchozích generacích. (ω-plné tvary reálných prvků S ω jednoznačně odpovídají reálným číslům získaným pomocí Dedekindových sekcí za předpokladu, že Dedekindovy reály odpovídající racionálním číslům jsou reprezentovány formou, ve které toto číslo není zahrnuto ani v levé, ani v pravé sady). Racionální čísla nejsou nějakým zvláštním, identifikovatelným stádiem konstrukce neskutečných čísel; jsou jednoduše podmnožinou Q S ω obsahující všechna x taková , že xb = a pro nějaké a a nějaké nenulové b , obojí převzato z S * . Tím, že ukážeme, že Q je uzavřeno surrealistickými aritmetickými operacemi, tím ukážeme, že je to pole; a tím, že ukážeme, že každý prvek Q je dosažitelný z S * konečným řetězcem (ve skutečnosti ne více než dvěma) aritmetickými operacemi, včetně převzetí inverzního prvku , tím ukážeme, že Q je přísně menší než identifikovaná podmnožina S ω s reálnými čísly.

Množina S ω má stejnou mohutnost jako množina reálných čísel ℝ. To lze ukázat konstrukcí surjektivních zobrazení z S ω na uzavřený jednotkový interval I v ℝ a naopak. Zobrazení z S ω do I je triviální; zobrazit čísla menší nebo rovna ε (včetně −ω) na 0, čísla větší nebo rovna 1−ε (včetně ω) na 1 a čísla mezi ε a 1−ε na jejich ekvivalenty v I (zobrazení nekonečně blízkých sousedů y ±ε každého dyadického racionálního čísla y spolu se samotným y v y ) . Chcete-li zobrazit I na S ω , zmapujte centrální (otevřenou) třetinu (1/3, 2/3) množiny I na { | } = 0; střední třetina (7/9, 8/9) pravé zbývající třetiny v { 0 | } = 1; a tak dále. To mapuje všechny takové intervaly na všechny prvky S * a monotónně. V I zůstává Cantorova množina 2 ω , jejíž každý bod je jednoznačně určen rozdělením středních třetin na levou a pravou, což přesně odpovídá tvaru { L | R } na S ω . Tím se Cantorova množina dostává do vzájemné korespondence se sadou neskutečných narozeninových čísel ω.

Transfinitní indukce

Pokračujeme v transfinitní indukci pro S ω , získáme nové ordinály α, z nichž každá je reprezentována největším neskutečným narozeninovým číslem α. (V podstatě jde o definici ordinál jako výsledků transfinitní indukce.) První takovou ordinálou je ω+1 = { ω | }. V generaci ω+1 je také další nové kladné nekonečné číslo:

ω−1 = { 1, 2, 3, 4, … | ω}.

Surrealistické číslo ω−1 není ordinální; ordinála ω nenásleduje za žádnou ordinálou. Je to neskutečné číslo s narozeninami ω+1, nazývá se ω−1, protože je stejné jako součet čísel ω = { 1, 2, 3, 4, … | } a −1 = { | 0}. Podobně existují dvě nové infinitesimály v generaci ω+1:

2ε = ε + ε = { ε | 1+ε, 1/2 +ε, 1/4 + ε , 1/8 + ε , … } a ε/2 = ε · 1/2 = { 0 | ε}.

V pozdější fázi transfinitní indukce se pro jakékoli přirozené číslo k objeví číslo větší než ω + k :

2ω = ω + ω = { ω+1, ω+2, ω+3, ω+4, … | }

Toto číslo je pojmenováno ω + ω jak proto, že jeho datum narození je ω + ω (první pořadové číslo není odvozeno z ω násobkem dalšího čísla), tak proto, že se shoduje s neskutečným součtem ω a ω; může být také nazýván 2ω, protože je stejný jako součin čísel ω = { 1, 2, 3, 4, … | } a 2 = { 1 | }. Toto je druhá limitní řádová; odvození z ω pomocí konstrukčního pravidla vyžaduje transfinitní indukci na . To vyžaduje nekonečné sjednocení nekonečných množin, což je „silnější“ množinová teoretická operace než cokoli, co se dříve vyžadovalo pro transfinitní indukci.

Všimněte si, že výsledky běžného sčítání a násobení pořadových čísel se ne vždy shodují s výsledkem provádění těchto operací s jejich surrealistickými reprezentacemi. Součet ordinál 1 + ω je roven ω a surrealistický součet je komutativní a platí pro něj 1 + ω = ω + 1 > ω. Sčítání a násobení nadreálných čísel odpovídajících ordinálům se shoduje s přirozeným součtem a přirozeným součinem ordinálů .

Stejně jako je 2ω větší než ω + n pro libovolné přirozené číslo n , existuje neskutečné číslo ω/2, které je nekonečně velké, ale menší než ω − n pro jakékoli přirozené číslo n . ω/2 je definováno jako

ω/2 = { S * | ω − S * },

kde na pravé straně je použito označení x − Y ve smyslu { x − y  : y v Y }. To se shoduje se součinem ω a tvaru { 0 | 1 } čísla 1 / 2 . Datum narození čísla ω / 2  je limitní ordinála ω2 (nebo ekvivalentně ω + ω).

Viz také

Poznámky

  1. ↑ Vekshenov S. A. § ​​2. Matematika duality. 2.1 Surrealistická čísla // Metafyzika. Století XXI. Almanach. Vydání 4. Metafyzika a matematika / Sestavil a upravil Yu. S. Vladimirov. - M .: "Binom. Znalostní laboratoř", 2014. - S. 101. - ISBN 9785457525504 . Archivováno 31. srpna 2017 na Wayback Machine
  2. ↑ Alling, Norman L. (1962), O existenci reálně uzavřených polí, která jsou η α -množinami síly ℵ α , Trans. amer. Matematika. soc. T. 103: 341–352 , DOI 10.1090/S0002-9947-1962-0146089-X  .
  3. ↑ O'Connor, J. J. & Robertson, E. F., Conway Biography , < http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Conway.html > . Získáno 24. ledna 2008. Archivováno 13. ledna 2008 na Wayback Machine 
  4. ↑ Knuth, 2014 .
  5. ↑ Nekrology: Martin David Kruskal (odkaz není k dispozici) . Společnost pro průmyslovou a aplikovanou matematiku (11. dubna 2007). Archivováno z originálu 10. dubna 2011. 
  6. ↑ Costin, Ovidiu; Ehrlich, Philip & Friedman, Harvey M. (2015), Integrace na surrealech: Conwayova domněnka, Kruskal a Norton, arΧiv : 1505.02478 [math.LO]. 
  7. ↑ 1 2 Conway, John H. O číslech a hrách  . - 2. - CRC Press , 2000. - ISBN 9781568811277 . Archivováno 28. dubna 2021 na Wayback Machine
  8. ↑ Dále se místo slova množina používá slovo vesmír, protože surrealistická čísla netvoří množiny a použití slova třída může způsobit zmatek s třídami ekvivalence.
  9. ↑ 1 2 3 van den Dries, Lou; Ehrlich, Filip. Pole neskutečných čísel a umocňování  (anglicky)  // Fundamenta Mathematicae  : journal. - Warszawa: Ústav matematiky Polské akademie věd, 2001. - Leden ( sv. 167 , č. 2 ). - S. 173-188 . — ISSN 0016-2736 . doi : 10.4064 / fm167-2-3 . Archivováno z originálu 21. října 2016.
  10. ↑ Množina dyadických racionálních čísel představuje nejjednodušší netriviální skupinu a kruh tohoto druhu; skládá se z neskutečných čísel s narozeninami menšími než ω = ω 1 = ω ω 0 .
  11. ↑ Gonshor, Harry. Úvod do teorie surrealistických  čísel . - Cambridge University Press , 1986. - Sv. 110.- (London Mathematical Society Lecture Note Series). — ISBN 9780521312059 . - doi : 10.1017/CBO9780511629143 .
  12. ↑ Conway popisuje tuto myšlenku ve své přednášce Archived 9. listopadu 2020 na Wayback Machine přibližně od 0:16:30 do 0:19:30

Literatura

v Rusku v jiných jazycích

Odkazy