Tau číslo

Tau-číslo ( -number , angl. refactorable number ) je celé číslo dělitelné počtem jeho dělitelů , nebo, algebraicky řečeno, takové, že . Prvních pár tau čísel [1] : $\tau$ $n$ $n$ $\tau (n)|n$

1 , 2 , 8 , 9 , 12 , 18 , 24 , 36 , 40 , 56 , 60 , 72 , 80 , 84 , 88 , 96 .

Například 18 má šest faktorů (1 a 18, 2 a 9, 3 a 6) a je dělitelné 6.

Tau čísla mají asymptotickou hustotu nula. Žádná tři po sobě jdoucí celá čísla nemohou být tau čísla [2] Colton dokázal, že žádné tau číslo není dokonalé . Rovnice (kde je největší společný dělitel a ) má řešení pouze tehdy, je-li tau číslo. $(n,x)=\tau (n)$ $(n,x)$ $n$ $X$ $n$

Několik problémů zůstává nevyřešeno ohledně čísel tau:

zda existují libovolně velké , pro které a , a jsou tau-čísla $n$ $n$ $n+1$
pokud existuje číslo tau , vyplývá z toho, že existuje takové, které je číslem tau a . $n_{0}\equiv a{\pmod {m))$ ${\displaystyle n>n_{0))$ $n$ $n\equiv a{\pmod {m))$

Tau čísla byla poprvé definována Curtisem Cooperem a Robertem Kennedym v roce 1990 [3] , kteří zjistili, že tau čísla mají nulovou asymptotickou hustotu. Později je znovu objevil Simon Colton pomocí programu, který napsal, aby vymyslel a otestoval různé definice v teorii čísel a teorii grafů [4] . Colton tato čísla pojmenoval anglicky. refaktorovatelné . Přestože počítačové programy objevily důkazy již dříve, bylo to poprvé, kdy program našel nový nebo dříve nepovšimnutý nápad. Colton dokázal mnoho výsledků o číslech tau, ukázal nekonečnost jejich počtu a několik podmínek pro jejich distribuci.

Poznámky

↑ OEIS sekvence A033950 _
↑ J. Zelinsky, Tau Numbers: A Partial Proof of a Conjecture and Other Results Archived 11. listopadu 2020 na Wayback Machine // Journal of Integer Sequences , Vol. 5 (2002), článek 02.2.8
↑ Cooper, CN a Kennedy, RE Tau čísla, přirozená hustota a Hardyho a Wrightova věta 437 // Internat. J Math. Matematika. sci. 13, 383-386, 1990
↑ S. Colton, Refactorable Numbers – A Machine Invention Archived 27. července 2020 na Wayback Machine // Journal of Integer Sequences , Vol. 2 (1999), článek 99.1.2