Tenzorové pole

Tenzorové pole je mapování , které přiřazuje tenzor každému bodu uvažovaného prostoru .

Definice

Formálně může být tenzorové pole definováno několika způsoby.

Definice z hlediska pojmu struktura na manifoldu

Pomocí základního konceptu diferenciální geometrie - struktury na rozdělovači - můžeme dát následující definici:

Nechť , a je prostor tenzorů typu s přirozenou tenzorovou reprezentací grupy , pak je typová struktura lineární strukturou prvního řádu a nazývá se tenzorové pole (nebo tenzorová struktura ) typu . $V=\mathbb{R} ^{n}$ $V^{*}={\mathrm {Hom}}\,(V,\;\mathbb{R} )$ $V_{q}^{p}=(({\overset {p}{\otimes }}V))\otimes (({\overset {q}{\otimes }}V^{*}))$ $(p,\;q)$ $GL^{1}(n)=GL(n)$ $V_{q}^{p}$ $(p,\;q)$

Definice prostřednictvím pojmu tensor bundle

Při definování tenzorového pole lze vycházet z konceptu tenzorového svazku .

Tenzorové pole je úsek tenzorového svazku na diferencovatelné manifoldu , který je v obecném případě izomorfní k tenzorovému součinu svazků tečny a kotangens . $T^{{p,\;q}}(M)$ $M$

T^{{p,\;q))(M)\cong {\overset {p}{\otimes }}T(M)\otimes {\overset {q}{\otimes }}T(M)^{ *}.

Nepřísná definice

Méně formálně lze na tenzorové pole pohlížet jako na mapování , které přiřazuje tenzor konstantní valence každému bodu uvažovaného manifoldu . $M$

Rozsah

Pojem tenzorového pole přirozeně vzniká v mechanice a fyzice kontinua při popisu anizotropních prostředí . Koncept tenzorového pole nachází uplatnění ve všech aplikovaných vědách, kde jsou taková média zvažována a studována. Je součástí matematického aparátu obecné a speciální teorie relativity .

Rozšířené tenzorové pole

Pojem rozšířeného tenzorového pole vzniká v důsledku rozšíření pojmu tenzorového pole ve výše uvedeném smyslu.

Nepřísná definice

Nejjednodušší způsob, jak porozumět takovému rozšíření, je založen na nepřísné definici, podle níž je tenzorové pole zobrazení, které s každým bodem variety spojuje nějaký tenzor s pevnou valenci související s tímto bodem . Nechť je nyní nějaká další manifold, která je svazkem čar nad , a nechť je kanonická projekce pro takový svazek. Pak je rozšířené tenzorové pole mapováním, které přiřazuje každému bodu variety určitý tenzor pevné valence na , vztažený k bodu . $\displaystyle x$ $\displaystyle M$ $\displaystyle (p,q)$ $\displaystyle x$ $\displaystyle {\tilde M}$ $\displaystyle M$ $\displaystyle \pi :{\tilde M}\to M$ $\displaystyle y$ $\displaystyle {\tilde M}$ $\displaystyle (p,q)$ $\displaystyle {\tilde M}$ $\displaystyle x=\pi (y)$

Literatura

Matematická encyklopedie / Ed. I. M. Vinogradová . - M .: Mir, 1965. - T. 5. - S. 333. - 1060 s.
Rashevsky, P. K. Riemannova geometrie a tenzorová analýza . - 3. vyd. — M .: Nauka, 1967. — 664 s.