Tenzorová analýza

Tenzorová analýza je zobecnění vektorové analýzy , část tensorového počtu , která studuje jednání diferenciálních operátorů na algebře tensorových polí diferencovatelné variety . Zvažujeme také operátory působící na obecnější geometrické objekty než tenzorová pole: hustoty tenzorů, diferenciální formy s hodnotami ve vektorovém svazku. $D(M)$ $M$

Největší zájem mají operátory, jejichž akce nevede mimo algebru , mezi ně patří kovariantní derivace , Lieova derivace , vnější derivace , tenzor křivosti nedegenerovaného, dvojitě kovariantního tenzoru . $D(M)$

Kovariantní derivát

Kovariantní derivace podél vektorového pole je lineární zobrazení prostoru vektorových polí variety v závislosti na vektorovém poli a splňující podmínky: $X$ $\nabla _{X}$ $D^{1}(M)$ $M$ $X$

\nabla _{f}X+{}_{{gV}}Z=f\nabla _{X}Z,

\nabla _{X}(fZ)=f\nabla _{X}Z+(Xf)Y,

kde , , , , jsou hladké funkce zapnuté . Spojení a paralelní překlad definovaný tímto operátorem nám umožňuje rozšířit působení kovariantní derivace na lineární zobrazení algebry do sebe; navíc mapování je diferenciace, zachovává typ tenzorového pole a permutuje s konvolucí. $X$ $Y$ $Z\in D'(M)$ $F$ $G$ $M$ $\Gamma$ $D(M)$ $\nabla X$

V lokálních souřadnicích je kovariantní derivace tenzoru se složkami vzhledem k vektoru definována jako: $u^{1},\;u^{2},\;\ldots ,\;u^{n}$ $T\left(T_{{j_{1}\ldots {j_{m}}}}^{{i_{1}\ldots {i_{l}}}}\right)$ $X=\xi ^{i}{\frac {\částečné }{\částečné u^{i))}$

\nabla _{X}T=\xi ^{s}\left({\frac {\částečné T_{{j_{1}\ldots m}}^{{i_{1}\ldots i_{l}}} }{\částečné u^{s}}}+\Gamma _{{k_{s}}}^{{i_{1}}}T_{{j_{1}\ldots j_{m}}}^{{ k\ldots i_{l}}}+\ldots -\Gamma _{{j_{{i,s}}}}^{k}T_{{k\ldots j_{m}}}^{{i_{1 }\ldots i_{l}}}}\right),

\Gamma _{{ks}}^{i}

je spojovací objekt .

\Gamma

Derivace lži

Lieova derivace podél vektorového pole je zobrazením prostoru definovaného vzorcem , kde je komutátor vektorových polí , . Tento operátor se také jednoznačně rozšiřuje na diferenciaci , zachovává typ tenzorů a komutuje s konvolucí . V lokálních souřadnicích je derivace Lieovho tenzoru vyjádřena takto: $X$ $L_{X}$ $D'(M)$ $L_{X}:Y\až [X,\;Y]$ $[X,\;Y]$ $X$ $Y$ $D(M)$ $T\left(T_{{j_{1}\ldots {j_{m}}}}^{{i_{1}\ldots {i_{l}}}}\right)$

L_{X}T=\xi ^{k}{\frac {\částečné T_{{j_{1}\ldots j_{m))}^{{i_{1}\ldots i_{l)))){ \partial u^{k))}+T_{{k\ldots j_{m))}^{{i_{1}\ldots i_{l))}{\frac {\partial \xi ^{k)) {\částečné u^{i))}+\ldots -T_{{j_{1}\ldots j_{m))}^{{k\ldots i_{l))}{\frac {\částečné \xi ^ {{i_{1}}}}{\částečné u^{k}}}-\ldots

Externí derivace

Externí diferenciál (externí derivace) je lineární operátor , který spojuje vnější diferenciální formu (skosově symetrický kovariantní tenzor) se stupněm s formou stejného typu a stupně , která splňuje podmínky: $d$ $p$ $p+1$

d(\omega _{1}\wedge \omega _{2})=d\omega _{1}\wedge \omega _{2}+(-1)^{r}\omega _{1}\wedge d\omega _{2},\quad d(d\omega )=0,

kde je symbol vnějšího produktu , je stupeň . V lokálních souřadnicích je vnější derivace tenzoru vyjádřena takto: $\klín$ $r$ $\omega_{1}$ $\omega \langle \omega _{{i_{1}\ldots i_{p}}}\rangle$

d\omega =\sum _{{n=0}}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\částečná \omega _{{i_{1}\ldots {\hat i}_ {k}\ldots i_{{p+1}}}}}{\částečné u^{{i_{k}}}}}.

Operátor je zobecněním operátoru . $d$ ${\mathrm {rot}}$

Tenzor křivosti

Tenzor křivosti symetrického nedegenerovaného dvojitě kovariantního tenzoru je akce nějakého nelineárního operátoru : $g_{{if}}$ $R$

g_{if}\to R_{mlk}^{s}={\frac {\částečné \Gamma _{km}^{s)){\částečné u^{l))}-{\frac { \částečné \Gamma _{kl}^{s}}{\částečné u^{m}}}+\součet _{p}\left(\Gamma _{lp}^{s}\Gamma _{km}^ {p}-\Gamma _{mp}^{s}\Gamma _{kl}^{p}\right)

kde

\Gamma _{jk}^{i}={\frac {1}{2}}g^{is}\left({\frac {\partial g_{js}}{\partial u^{k ))}+{\frac {\částečné g_{ks}}{\částečné u^{j}}}-{\frac {\částečné g_{jk}}{\částečné u^{s}}}\right)

Literatura

Sokolnikov I. S. Tenzorová analýza. — M .: Nauka, 1971. — 374 s.
Shouten Ya. A. Tenzorová analýza pro fyziky. - M. : Hlavní edice fyzikální a matematické literatury nakladatelství "Nauka", 1965. - 456 s.
Shirokov P. A. Tenzorový počet. - M. - L .: Gostekhizdat, 1934. - 464 s.