Bolzanova-Weierstrassova věta

Bolzanova-Weierstrassova věta nebo Bolzano-Weierstrassovo lemma limitního bodu je návrh analýzy , jehož jedna z formulací říká: z libovolné omezené posloupnosti bodů v prostoru lze rozlišit konvergentní podposloupnost. Bolzanova-Weierstrassova věta, zejména případ numerické posloupnosti ( ), je zahrnuta v každém průběhu analýzy. Používá se při důkazu mnoha návrhů analýzy, například věta o dosažení funkce spojité na segmentu jeho nejlepší horní a dolní mezí . Věta nese jména českého matematika Bolzana a německého matematika Weierstrasse $\mathbb {R} ^{n}$ $n=1$ , který to nezávisle formuloval a dokázal.

Formulace

Je známo několik formulací Bolzano-Weierstrassovy věty.

První formulace

Nechť je navržena posloupnost bodů v prostoru $\mathbb {R} ^{n}$ :

x_1, x_2, \ldots

a nechť je tato posloupnost ohraničená , tzn.

\| x_k \| \leqslant C, \; k = 1, 2, \ldots

kde je nějaké číslo. $C > 0$

Potom z této sekvence můžeme vybrat podsekvenci

x_{k_1}, x_{k_2}, \ldots

která konverguje k nějakému bodu v prostoru . $\mathbb {R} ^{n}$

Bolzanova-Weierstrassova věta v této formulaci se někdy nazývá princip kompaktnosti omezené posloupnosti .

Rozšířená verze prvního znění

Bolzanova-Weierstrassova věta je často doplněna o následující tvrzení.

Pokud je posloupnost bodů v prostoru neomezená , pak je možné z ní vybrat podsekvenci, která má limit . $\mathbb {R} ^{n}$ $\infty$

Pro tento případ lze tuto formulaci upřesnit: z libovolné neomezené číselné posloupnosti lze vybrat podposloupnost, která má limit nekonečna určitého znaménka ( nebo ). $n=1$ $+\infty$ $-\infty$

Každá číselná posloupnost tedy obsahuje dílčí posloupnost, která má limit v rozšířené množině reálných čísel . $\overline{\mathbb{R))$

Druhá formulace

Následující návrh je alternativní formulací Bolzano-Weierstrassovy věty.

Každá ohraničená nekonečná podmnožina prostoru má alespoň jeden limitní bod v . $E$ $\mathbb{R}^n$ $\mathbb{R}^n$

Podrobněji to znamená, že existuje bod , jehož každé okolí obsahuje nekonečný počet bodů množiny . $x_0 \in \mathbb{R}^n$ $U_{\varepsilon} (x_0)$ $E$

Důkaz ekvivalence dvou formulací Bolzano-Weierstrassovy věty

$\bigl ( 1 \Šipka doprava 2 \bigr )$ Dovolit být omezená nekonečná podmnožina prostoru . Vezměte si posloupnost různých bodů $E$ $\mathbb{R}^n$ $E$

x_1, x_2, \ldots

Protože je tato posloupnost omezena, na základě první formulace Bolzano–Weierstrassovy věty, lze z ní vyjmout podsekvenci

x_{k_1}, x_{k_2}, \ldots

konvergující do nějakého bodu . Potom libovolné okolí bodu obsahuje nekonečný počet bodů množiny . $x_0 \in \mathbb{R}^n$ $x_0$ $E$

\bigl ( 2 \šipka doprava 1 \bigr )

A naopak, nechť je dána libovolná ohraničená posloupnost bodů v prostoru :

\mathbb{R}^n

$x_1, x_2, \ldots$ Sada hodnot této sekvence je omezená, ale může být nekonečná nebo konečná. Pokud je konečný, pak se jedna z hodnot opakuje v sekvenci nekonečněkrát. Potom tyto členy tvoří stacionární podsekvenci (tj. posloupnost, jejíž všechny prvky jsou stejné, počínaje některými) konvergující k bodu . $E$ $E$ $a \v E$ $A$

Je-li množina nekonečná, pak na základě druhé formulace Bolzano-Weierstrassovy věty existuje bod, v jehož okolí je nekonečně mnoho různých členů posloupnosti. $E$ $x_0 \in \mathbb{R}^n$

Zvolme postupně pro bod při dodržení podmínky rostoucích čísel: $m = 1, 2, \ldots$ $x_{k_m} \in U_{1/m} (x_0)$

k_1 < k_2 < \ldots

Poté podposloupnost konverguje k bodu .

x_{k_1}, x_{k_2}, \ldots

x_0

quod erat demonstrace

Důkaz

Bolzanova–Weierstrassova věta je odvozena z vlastnosti úplnosti množiny reálných čísel . Nejznámější varianta důkazu využívá vlastnost úplnosti v podobě principu vnořených segmentů .

Jednorozměrný případ

Dokažme, že z libovolné omezené číselné posloupnosti je možné vybrat konvergentní podposloupnost. Následující metoda důkazu se nazývá Bolzanova metoda nebo metoda půlení .

Nechť je dána omezená číselná posloupnost

x_{1},x_{2},x_{3},\ldots

Z ohraničenosti posloupnosti vyplývá, že všechny její členy leží na určitém segmentu reálné přímky, kterou označíme . $[a_0, b_0]$

Rozdělte segment na polovinu na dva stejné segmenty. Alespoň jeden z výsledných segmentů obsahuje nekonečný počet sekvenčních členů. Pojďme to označit . $[a_0, b_0]$ $[a_1, b_1]$

V dalším kroku postup opakujeme se segmentem : rozdělíme jej na dva stejné segmenty a vybereme z nich ten, který obsahuje nekonečný počet členů posloupnosti. Pojďme to označit . $[a_1, b_1]$ $[a_2, b_2]$

Pokračujeme-li v procesu, získáme sekvenci vnořených segmentů

[a_0, b_0] \supset [a_1, b_1] \supset [a_2, b_2] \supset \ldots

ve kterém každý následující je polovinou předchozího a obsahuje nekonečný počet členů posloupnosti . $\{x_k\}$

Délky segmentů mají tendenci k nule:

|b_m - a_m| = \frac{|b_0 - a_0|}{2^m} \to 0

Na základě Cauchy-Cantorova principu vnořených segmentů existuje jediný bod , který patří všem segmentům: $\xi$

a_m \leqslant \xi \leqslant b_m, \; m = 0, 1, \ldots

Podle konstrukce obsahuje každý segment nekonečný počet členů posloupnosti. Zvolme sekvenci $[a_m,b_m]$

x_{k_m} \in [a_m,b_m], \; m = 0, 1, 2, \ldots

při dodržení podmínky rostoucích čísel:

k_0 < k_1 < \ldots

Poté podposloupnost konverguje k bodu . To vyplývá ze skutečnosti, že vzdálenost od do nepřesahuje délku segmentu, který je obsahuje , odkud $\{ x_{k_m} \}$ $\xi$ $x_{k_m}$ $\xi$ $[a_m,b_m]$

|x_{k_m} - \xi | \leqslant |b_m - a_m| \na 0

Rozšíření o případ prostoru libovolné konečné dimenze

Bolzano-Weierstrassův teorém lze snadno zobecnit na případ prostoru libovolné dimenze.

Nechť je dána posloupnost bodů v prostoru : $\mathbb{R}^n$

\begin{matrix} x_1 = (x_1^{(1)}, x_1^{(2)}, \ldots, x_1^{(n)}) \\ x_2 = (x_2^{(1)}, x_2^ {(2)}, \ldots, x_2^{(n)}) \\ \ldots \\ \end{matrix}

(dolní index je číslo člena sekvence, horní je číslo souřadnice). Pokud je posloupnost bodů v prostoru omezená, pak každá z číselných posloupností souřadnic: $\mathbb{R}^n$

x_1^{(\nu)}, x_2^{(\nu)}, \ldots

je také omezena ( je číslo souřadnice). $\nu = 1, \ldots, n$

Na základě jednorozměrné varianty Bolzano–Weierstrassovy věty je možné z posloupnosti extrahovat podposloupnost bodů, jejichž první souřadnice tvoří konvergentní posloupnost. Z výsledné podposloupnosti vybereme ještě jednou podposloupnost sbíhající se po druhé souřadnici. V tomto případě je konvergence v první souřadnici zachována díky tomu, že konverguje i jakákoli podposloupnost konvergentní posloupnosti. A tak dále. $\{ x_k\}$ $\{ x_{k_m} \}$ $\{ x_{k_m}^{(1)} \}$

Po krocích dostaneme nějakou sekvenci $n$

x_{r_1}, x_{r_2}, \ldots

což je podsekvence , a konverguje v každé ze souřadnic. Z toho vyplývá, že tato podposloupnost konverguje. $x_1, x_2, \ldots$

Historie

Bolzanova-Weierstrassova věta (pro případ ) byla poprvé prokázána českým matematikem Bolzanem v roce 1817. V Bolzanově práci se objevil jako lemma v důkazu věty o středních hodnotách spojité funkce , nyní známé jako Bolzano-Cauchyho věta. Tyto a další výsledky, které prokázal Bolzano dávno před Cauchym a Weierstrassem , však zůstaly bez povšimnutí. $n=1$

Teprve o půl století později Weierstrass nezávisle na Bolzanovi znovu objevil a dokázal tuto větu. Původně se nazývala Weierstrassova věta, než se Bolzanovo dílo stalo známým a dostalo se mu uznání.

Dnes tato věta nese jména Bolzano a Weierstrass. Často se tato věta nazývá Bolzano-Weierstrassovo lemma a někdy lemma limitního bodu .

Bolzanova-Weierstrassova věta a pojem kompaktnosti

Bolzano-Weierstrassova věta zakládá následující zajímavou vlastnost omezené množiny : každá posloupnost bodů obsahuje konvergentní podposloupnost. $M \subset \mathbb{R}^n$ $M$

Při dokazování různých tvrzení v analýze se často uchýlí k následujícímu triku: určí se posloupnost bodů, která má nějakou požadovanou vlastnost, a pak se z ní vybere podsekvence, která ji také vlastní, ale již konverguje. Tak se například dokazuje Weierstrassova věta , že funkce spojitá na intervalu je omezená a nabývá své největší a nejmenší hodnoty.

Účinnost takové techniky obecně, stejně jako touha rozšířit Weierstrassův teorém na libovolné metrické prostory , přiměly francouzského matematika Maurice Frécheta k zavedení konceptu kompaktnosti v roce 1906 . Vlastností ohraničených množin v , která je stanovena Bolzanovou-Weierstrassovou větou, je, obrazně řečeno, že body množiny jsou umístěny spíše „těsně“ nebo „kompaktně“: po nekonečně dlouhém kroku podél této množiny , určitě se přiblížíme tak blízko, jak chceme, ke kterému - bodu v prostoru. $\mathbb{R}^n$

Fréchet zavádí následující definici: množina se nazývá kompaktní , nebo kompaktní , pokud jakákoli posloupnost jejích bodů obsahuje podsekvenci konvergující k nějakému bodu této množiny. Předpokládá se, že metrika je definována na množině, to znamená, že se jedná o metrický prostor nebo podmnožinu metrického prostoru. $M$ $M$

Na základě této definice není každá ohraničená množina kompaktní: podsekvence bodů z může konvergovat k bodu, který již do této množiny nepatří. Uzávěr ohraničené soupravy je však již kompaktní. Bolzano-Weierstrassova věta tedy zakládá postačující podmínku kompaktnosti v prostoru : aby byla množina kompaktní , stačí , aby byla uzavřená a ohraničená. Nezbytnost těchto podmínek není těžké ověřit (je to mnohem jednodušší než prokazování dostatečnosti). $M \subset \mathbb{R}^n$ $M$ $\mathbb{R}^n$ $M \subset \mathbb{R}^n$

Z hlediska obecné definice kompaktnosti je tedy úlohou Bolzano-Weierstrassovy věty to, že stanovuje kritérium kompaktnosti v prostoru : kompaktní množiny jsou přesně uzavřené ohraničené množiny. $\mathbb{R}^n$ $\mathbb{R}^n$

Viz také

Poznámky

Literatura

Kudryavtsev L. D. Kurz matematické analýzy. - 5. vyd. - M. : "Drofa", 2003. - T. 1. - 704 s. - ISBN 5-7107-4119-1 .
Rybnikov K. A. Dějiny matematiky. - M. : Nakladatelství Moskevské univerzity, 1963. - T. 2.
Rudin U. Základy matematické analýzy = Principy matematické analýzy / per. z angličtiny. Havin. Druhý je stereotypní. - M .: "Mir", 1976.