Weierstrass-Stoneova věta

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 8. dubna 2020; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Weierstrass-Stoneova věta je tvrzení o možnosti reprezentovat libovolnou spojitou funkci na Hausdorffově kompaktu množeném limitou rovnoměrně konvergentní posloupnosti spojitých funkcí speciální třídy - Stone algebry .

Původně formulováno a dokázáno Karlem Weierstrassem v roce 1885 pro funkce spojité na segmentu reálné čáry, čímž byla stanovena možnost jejich jednotné aproximace posloupností polynomů . V roce 1937 Marshall Stone podstatně zobecnil výsledek rozšířením výsledku na funkce, které jsou spojité na libovolném T 2 -oddělitelném kompaktním prostoru, tvoří kruh a jako rovnoměrně konvergentní posloupnosti funkcí namísto polynomů na funkce od specifická podtřída spojitých funkcí, které tvoří podkruh.

Později byla nalezena další zobecnění výsledku .

Weierstrassova věta

Dovolit je spojitá funkce definovaná na intervalu . Pak pro libovolnou existuje polynom s reálnými koeficienty takový, že podmínka [1] je současně splněna pro všechny . $F$ $[a,b]$ $\varepsilon >0$ $p$ $X$ $[a,\;b]$ $|f(x)-p(x)|<\varepsilon$

Je-li na kružnici spojitá (periodická), pak tvrzení platí i pro trigonometrické polynomy . $f(x)$

Věta je platná i pro funkce s komplexní hodnotou, ale pak by koeficienty polynomu měly být považovány za komplexní čísla a jejich komplexní konjugace by měly být přidány k polynomům. $p$

Nástin důkazu Weierstrass

Větu zavedl Karl Weierstrass v roce 1885 [2] jako důsledek obecnějšího tvrzení: pro reálné všude definované spojité funkce a , jejichž absolutní hodnota nepřesahuje určitou hranici, nikde nemění své znaménko a splňuje rovnost , a integrál k němu konverguje: $f(x)$ $\psi(x)$ $\psi(x)$ $\psi(-x)=\psi(x)$

\int \limits _{0}^{\infty }\psi (x)dx=\omega

provedl:

f(x)=\lim \limits _{k\to 0}{\frac {1}{2k\omega }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\psi \left ({\frac {xy}{k}}\right)f(y)dy

Z přímého důkazu okamžitě vyplývá, že limita nejen existuje a je rovna , ale také že konvergence je stejnoměrná v , měnící se na libovolném konečném intervalu. $f(x)$ $X$

Vezmeme-li jako , každou funkci z rodiny: $\psi(x)=e^{-x^2}$

F_k(x) = \frac{1}{2k\omega}\int\limits_{-\infty}^\infty \psi\left( \frac{xy}{k}\right)f(y)dy

je zcela definován pro všechny komplexní a je úplný . Lze je tedy rovnoměrně aproximovat v kružnici libovolného poloměru pomocí polynomů ( Abelova věta ). To okamžitě znamená, že jakákoli spojitá funkce může být rovnoměrně aproximována polynomy na libovolném konečném intervalu. $X$ $f(x)$

Pokud je navíc periodická funkce s periodou , pak funkce jsou celé periodické funkce. Ale pak: $f(x)$ $T$ $F_k(x)$

F_k\left(\frac{T}{2\pi i}\ln z\right)

je jednohodnotová a holomorfní funkce v doméně , a proto se rozšiřuje na Laurentovu řadu : $z\not=0$

F_k=\sum \limits_{n=-\infty}^\infty c_n z^n = \sum \limits_{n=-\infty}^\infty c_n \exp{\left (\frac{2\pi}{ T}inx\vpravo)}

proto , a proto může být aproximován trigonometrickými polynomy. $F_k(x)$ $f(x)$

Význam výsledku Weierstrass

V polovině 19. století se zdálo , že představa funkce jako analytického výrazu zcela přežila a analýza tvořená na základě integrálního a diferenciálního počtu se zabývala libovolnými funkcemi, např. Hermann Hankel zejména poznamenáno: nějaký interval odpovídá určité hodnotě ; přitom nezáleží na tom, zda závisí na v celém intervalu podle jednoho zákona a zda lze tuto závislost vyjádřit pomocí matematických operací “ [3] , zdůrazňující, že ne každou funkci lze vyjádřit pomocí analytického výrazu. V reakci na to Weierstrass napsal práci „O analytické reprezentaci takzvaných arbitrárních funkcí“, ve které se ukázalo, že libovolná spojitá funkce je limita polynomů. Později se ukázalo, že i ty nejvíce "patologické" funkce, například Dirichletova funkce , takové reprezentace umožňují, ale pouze s velkým počtem průchodů na hranici. $y$ $X$ $X$ $y$ $y$ $X$

Topologické důsledky

Podle Weierstrassovy věty je prostor spojitých reálných nebo komplexně hodnotných funkcí na segmentu s jednotnou normou oddělitelný : prostor polynomů s racionálními nebo komplexně racionálními koeficienty je požadovaný spočetný všude v hustém podprostoru .

Stoneova generalizace

V roce 1935 Stone dokázal, že jakákoli funkce z okruhu reálně hodnotných funkcí spojitých na Hausdorffově kompaktu může být jednotně aproximována funkcemi speciální třídy, která tvoří Stoneovou algebru, to znamená, že jakákoli Stoneova algebra je všude v prostoru hustá. spojitých funkcí na kompaktu: . Jako normu jednotné konvergence vezmeme , a Stoneova algebra je definována jako subalgebra , jejíž prvky oddělují body . $C(K)$ $K$ $C_{0}$ ${\overline {C_{0}}}=C(K)$ $C(K)$ $\|f\|=\max \limits _{x\in K}|f(x)|$ $C_0 \subseteq C(K)$ $K$

Přesněji řečeno, kamenná algebra je soubor funkcí z kruhu , který splňuje následující podmínky: $C_{0}$ $C(K)$

spolu s libovolným ze svých prvků obsahuje Stoneová algebra následující prvky: ( ), , ; $f, g \v C_0$ $srov$ $c\in \mathbb {R}$ $f+g$ $fg$
Stoneova algebra obsahuje konstantní funkci ; $jeden$
pro každý pár odlišných bodů existuje alespoň jedna funkce taková, že . $x_{1}, x_{2} \in K$ $f\in C_{0},$ $f(x_{1}) \neq f(x_{2})$

Další zobecnění

Existuje řada zobecnění Weierstrass-Stoneova teorému v různých směrech. Například podle Mergelyanova teorému může být každá funkce, která je spojitá na libovolné kompaktní množině s připojeným doplňkem na komplexní rovině a holomorfní ve svých vnitřních bodech, jednotně aproximována komplexními polynomy. Byla také nalezena zobecnění, která umožňují namísto Hausdorffova kompaktu uvažovat funkce, které jsou spojité na libovolném Tikhonovově prostoru .

Viz také

Bernsteinův polynom

Poznámky

↑ Fikhtengolts G. M. Kurz diferenciálního a integrálního počtu. svazek 3, str. 734
↑ Weierstrass K. // Matematika Werke. bd. 3. P. 1.
↑ Citováno. od Koenig F. Kommentierender Anhang // Klein F. Funktionentheorie . Teubner, 1987. S. 261

Literatura

Weierstrass-Stoneova věta - článek encyklopedie matematiky . V. I. Ponomarev
Dzyadyk VK Úvod do teorie jednotné aproximace funkcí polynomy. — M .: Nauka, 1977. — 512 s.