Vinogradovova věta o střední hodnotě

Vinogradovův teorém o střední hodnotě je teorém analytické teorie čísel o odhadu střední hodnoty integrálu některých goniometrických součtů , také nazývaný Vinogradovův integrál ; klíčový výsledek použitý v metodě goniometrických součtů . Věta je zajímavá zejména proto, že integrál v ní odhadnutý se rovná počtu řešení v celých číslech z dostatečně velkého intervalu soustavy rovnic speciálního tvaru.

Označení přijatá v článku

Protože se věta přímo týká goniometrických součtů (a tedy exponentů s komplexním exponentem ), pro stručnost a pohodlí použijeme zápis , kde může být libovolné číslo. ${\displaystyle e\left({\alpha }\right)=e^{2\pi \alpha i))$ $\alpha \in {\mathbb {R} }$

Obecný popis problému

Nechť jsou dána pevná přirozená čísla . Zvažte soustavu rovnic $n,k$

\left\{{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}+\tečky +x_{k}=y_{1}+y_{2}+\tečky +y_{k}\\ {x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+\tečky +{x_{k}}^{2}={y_{1}}^{2}+{y_{ 2}}^{2}+\tečky +{y_{k}}^{2}\\\tečky \\{x_{1}}^{n}+{x_{2}}^{n}+\ tečky +{x_{k}}^{n}={y_{1}}^{n}+{y_{2}}^{n}+\tečky +{y_{k}}^{n}\end {matrix}}\vpravo.

nebo formálněji,

\sum \limits _{j=1}^{k}{{x_{j}}^{i}}=\sum \limits _{j=1}^{k}{{y_{j} }^{i}},i=1,\tečky ,n

Potřeba uvažovat o takovém systému vyvstává například při analytickém řešení Waringova problému , ale lze jej (v modifikovaných formulacích) aplikovat i v jiných oblastech.

Označíme-li počtem celočíselných řešení zadaného systému v rámci , pak je hlavní otázka formulována takto: jak rychle roste s růstem ? $J_{k,n}(P)$ $x_{i},y_{i}\in [1;P],i=1,\tečky ,k$ $J_{k,n}(P)$ $P$

Triviální odhad by samozřejmě byl ${\displaystyle J_{k,n}(P)\leq P^{2k))$

Vinogradovova věta poskytuje přímé (ne asymptotické ) odhady, mnohem lepší než triviální, shora na množství pro pevné a . $J_{k,n}(P)$ $k$ $n$

Integrální formulace

Jako obvykle při použití goniometrických součtů lze podmínku, že proměnné odpovídají rovnici, vyjádřit identitou

{\Bigg [}\sum \limits _{j=1}^{k}{{x_{j}}^{i}}-\sum \limits _{j=1}^{k}{ {y_{j}}^{i}}=0{\Bigg ]}=\int \limits _{0}^{1}{e\left({\left({\sum \limits _{j=1 }^{k}{{x_{j}}^{i}}-\součet \limits _{j=1}^{k}{{y_{j}}^{i}}}\right)\alpha }\vpravo)d\alpha }

Počet řešení soustavy rovnic tedy odpovídá výrazu

J_{n,k}(P)=\sum \limits _{1\leq x_{j},y_{j}\leq P}{\prod \limits _{i=1}^{n} {\int \limits _{0}^{1}{e\left({\left({\sum \limits _{j=1}^{k}{{x_{j}}^{i}}- \sum \limits _{j=1}^{k}{{y_{j}}^{i}}}\right)\alpha }\right)d\alpha }}}=\součet \limits _{1 \leq x_{j},y_{j}\leq P}\int \limits _{0}^{1}\tečky \int \limits _{0}^{1}{e\left({\sum \ limity _{i=1}^{n}{\left({\sum \limits _{j=1}^{k}{{x_{j}}^{i}}-\součet \limits _{j =1}^{k}{{y_{j}}^{i}}}\right)\alpha _{i}}}\right)}d\alpha _{1}\tečky d\alpha _{n }=

=\int \limits _{0}^{1}\tečky \int \limits _{0}^{1}{\sum \limits _{1\leq x_{j},y_{j}\ leq P}e\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{\left({\sum \limits _{j=1}^{k}{{x_{j))^{ i}}-\součet \limits _{j=1}^{k}{{y_{j}}^{i}}}\right)\alpha _{i}}}\right)}d\alpha _ {1}\tečky d\alpha _{n}=\int \limits _{0}^{1}\tečky \int \limits _{0}^{1}{\součet \limits _{1\leq x_ {j},y_{j}\leq P}e{\left({\sum \limits _{j=1}^{k}{\left({\sum \limits _{i=1}^{n }{x_{j}}^{i}\alpha _{i}}\right)}-\sum \limits _{j=1}^{k}{\left({\sum \limits _{i= 1}^{n}{y_{j}}^{i}\alpha _{i}}\right)}}\right)}}d\alpha _{1}\tečky d\alpha _{n}=

=\int \limits _{0}^{1}\tečky \int \limits _{0}^{1}{{\Bigg \vert }{\sum \limits _{x=1}^{ P}e\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{\alpha _{i}x^{i))}\right)}{\Bigg \vert }^{2k)) d\alpha _{1}\tečky d\alpha _{n}=\int \limits _{0}^{1}\tečky \int \limits _{0}^{1}{{\Bigg \vert } {\sum \limits _{x=1}^{P}e\left({\alpha _{1}x+\alpha _{2}x^{2}+\tečky +\alpha _{k}x^ {k}}\right)}{\Bigg \vert }^{2k}}d\alpha _{1}\tečky d\alpha _{n}

Požadovaná hodnota je tedy odhadnuta prostřednictvím integrálu přes Weylovy součty a lze ji odhadnout pomocí metod společných pro tyto součty.

Výroky věty

Přestože hlavní výhodou věty je omezení řádu růstu vzhledem k , lze v důkazu explicitně vyjádřit i konstantní (pro fixní a ) faktor doprovázející toto pořadí růstu. $J_{k,n}(P)$ $P$ $k$ $n$

Navíc se odhady získané ve větě ukazují tím lepší, čím více parametr převyšuje parametr . Proto se obvykle zavádí další parametr vyjadřující poměr nebo nějakým jiným způsobem parametrizující růst vzhledem k . $k$ $n$ $\tau$ ${\frac {k}{n))$ $k$ $n$

V tomto ohledu a také kvůli složitosti důkazů věty a velkému množství podrobností v ní se v různých formulacích věty mohou použité konstanty a výrazy lišit pouze a mohou se lišit. Zejména se snížily hodnoty takových faktorů a různí matematici v různých časech uvolnili omezení hodnot. $k$ $n$ $(k,n)$

V knize I. M. Vinogradova z roku 1971 je uvedeno toto znění:

Nechte _ Pro celé číslo označte . $n\geq 12$ $\tau$ $k_{\tau }=n\tau +\left\lpatro {{\frac {n(n+1)}{4))+1}\right\rfloor$

Pak kdy $k>k_{\tau }$ $J_{k,n}(P)<(20n)^{{\frac {n(n+1)}{2}}\tau }P^{2k-{\frac {n(n+1) ) )}{2}}+{\frac {n(n+1)}{2}}\left({1-{\frac {1}{n}}}\right)^{\tau }}$

Učebnice A. A. Karatsuba z roku 1983 dokazuje:

Nechť je celé číslo, , . Tak kde $\tau >0$ $k\geq n\tau$ $P\geq 1$ ${\displaystyle J_{k,n}(P)\leq D_{\tau ,n}P^{2k-\delta (\tau ,n)))$

$\delta (\tau ,n)={\frac {n(n+1)}{2}}\left({1-\left({1-{\frac {1}{n}}} \right)^{\tau ))\right)$ ;

$D_{\tau ,n}=(n\tau )^{6n\tau }(2n)^{4n(n+1)\tau }$

Hlavní lemma

Podstata tvrzení

Otázka odhadu počtu řešení soustavy rovnic

\left\{{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}+\tečky +x_{k}=y_{1}+y_{2}+\tečky +y_{k}\\ {x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+\tečky +{x_{k}}^{2}={y_{1}}^{2}+{y_{ 2}}^{2}+\tečky +{y_{k}}^{2}\\\tečky \\{x_{1}}^{n}+{x_{2}}^{n}+\ tečky +{x_{k}}^{n}={y_{1}}^{n}+{y_{2}}^{n}+\tečky +{y_{k}}^{n}\end {matrix}}\vpravo.

přímo souvisí s otázkou počtu řešení systému

\left\{{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}+\tečky +x_{k}=\lambda _{1}\\{x_{1}}^{2}+ {x_{2}}^{2}+\tečky +{x_{k}}^{2}=\lambda _{2}\\\tečky \\{x_{1}}^{n}+{x_ {2}}^{n}+\tečky +{x_{k}}^{n}=\lambda _{k}\end{matrix}}\right.

při pevném . Problém podobný tomuto, ale poněkud usnadněný speciálními podmínkami a zmírněním požadavků, lze řešit přímo. Právě řešení takového problému tvoří hlavní lemma, které hraje hlavní roli v důkazu Vinogradovovy věty. Zvláštní podmínky nutné pro možnost přímého řešení problému jsou, že: ${\displaystyle \lambda _{1},\tečky ,\lambda _{k))$

předpokládá se, že počet proměnných se rovná počtu rovnic;
předpokládá se, že proměnné nabývají hodnot z různých, široce oddělených intervalů - to znamená, že rozdíl mezi jakýmikoli odlišnými a přesahuje určitou předem stanovenou hodnotu; $x_{i}$ $x_{j}$
místo požadavku rovnosti je analyzován požadavek příslušnosti k relativně krátkému intervalu, tedy k danému intervalu malé délky. ${x_{1}}^{s}+{x_{2}}^{s}+\tečky +{x_{k}}^{s}=\lambda _{s}$ ${x_{1}}^{s}+{x_{2}}^{s}+\tečky +{x_{k}}^{s}\in I_{s}$ $I_{s}$

Omezený počet řešení za daných podmínek je zřejmý z důvodu konvexnosti funkcí - skutečně, pokud je funkce konvexní a intervaly jsou od sebe výrazně vzdálené, pak rozdíl v hodnotách derivace této funkce na těchto intervalech je velmi odlišná. To znamená, že hodnoty na číslech z druhého intervalu budou umístěny na souřadnicové čáře řidčeji než hodnoty na číslech z prvního intervalu. V důsledku toho identické (ale odlišně zaměřené) změny v některých dvou proměnných mají za následek ve většině případů nestejnou změnu hodnoty funkce, takže když součet zůstane v určitém krátkém intervalu, když se proměnná změní , součet změní hodnoty ve velmi velkém intervalu. Pokud je tento velký interval větší než požadovaný, bude počet řešení odpovídajícím způsobem malý. ${\displaystyle x^{2},x^{3},\dots ,x^{n))$ $F$ $F$ $x_{1}+x_{2}$ $x_{1}$ $f(x_{1})+f(x_{2})$

Samotné úvahy o konvexitě se však v klasickém důkazu věty nepoužívají, protože přímo analyzuje vlastnosti celočíselných mocnin a koeficienty z nich získané polynomy .

Striktní formulace

Zde je znění z Karatsubovy knihy. Formulace ve Vinogradovově knize je podobná, pouze multiplikátory v závislosti na jsou mírně odlišné . $n$

Nech , , . Nechme také projít celá čísla intervalů ${\displaystyle n>2,P>{(2n)}^{4n))$ $H={(2n)}^{4}$ $R={\frac {P}{H}}$ $v_{1},\tečky ,v_{n}$

X_{1}<v_{1}\leq Y_{1},\dots ,X_{n}<v_{n}\leq Y_{n},

kde pro nějakou podmínku máme $\omega$ $0\leq \omega <P$

-\omega <X_{1},\ X_{1}+R=Y_{1},\ Y_{1}+R\leq X_{2},\dots ,X_{n}+R=Y_ {n},Y_{n}\leq -\omega +P

Potom počet systémů hodnot takový, že součty leží, respektive v libovolných intervalech s délkami, splňuje nerovnost $E_1$ $v_{1},\tečky ,v_{n}$ $V_{1}=v_{1}+\tečky +v_{n},\tečky ,V_{n}={v_{1}}^{n}+\tečky +{v_{n}}^ {n}$ $1,\dots ,P^{n-1}$

E_{1}<e^{r(n)-1}H^{\frac {n(n-1)}{2)),\ r(n)=-{\frac {n^{ 2}}{2}}\ln {n}+{\frac {3}{4}}n^{2}+{\frac {3}{2}}n

A pokud probíhají stejné hodnoty jako (bez ohledu na to druhé), pak počet případů, kdy rozdíly leží, respektive v jakýchkoli intervalech s délkami, vyhovuje nerovnosti ${v_{1}}^{*},\dots ,{v_{n}}^{*}$ $v_{1},\tečky ,v_{n}$ $E$ $V_{1}-{V_{1}}^{*},\dots ,V_{n}-{V_{n}}^{*}$ ${\displaystyle P^{1-{\frac {1}{n}}},\tečky ,P^{n\left({1-{\frac {1}{n}}}\right)))$

E<2e^{r(n)}H^{\frac {n(n-2)}{2}}P^{\frac {3n-1}{2}}

Stručný nástin důkazu

Hlavním problémem je prokázání odhadu pro . Z toho se triviálně odvozuje vázanost. $E_1$ $E$

Nechť existují dvě soustavy a , jejichž součty mocnin patří daným intervalům a . To ve skutečnosti znamená $(\eta _{1},\tečky ,\eta _{n})$ $(\eta _{1}+\xi _{1},\tečky ,\eta _{n}+\xi _{n})$ $I_{1},\tečky ,I_{n}$ $\xi _{n}>0$

\left\{{\begin{matrix}(\eta _{1}+\xi _{1})-\eta _{1}+\tečky +(\eta _{n}+\xi _ {n})-\eta _{n}=\theta _{1}|I_{1}|\\(\eta _{1}+\xi _{1})^{2}-{\eta _ {1}}^{2}+\tečky +(\eta _{n}+\xi _{n})^{2}-{\eta _{n}}^{2}=\theta _{2 }|I_{2}|\\\tečky \\(\eta _{1}+\xi _{1})^{n}-{\eta _{1))^{n}+\tečky +( \eta _{n}+\xi _{n})^{n}-{\eta _{n}}^{n}=\theta _{n}|I_{n}|\end{matrix}} \že jo.

kde . Pokud výraz dosadíme do všech členů a vyjádříme podle Cramerovy metody zlomky tvaru (explicitně odhalující determinanty), bude z Lagrangeovy věty plynout , že pro některé vyhovuje řešení soustavy rovnic. $\eta _{1},\tečky ,\eta _{n}\in (-1;1)$ $(\eta _{i}+\xi _{i})^{s}-{\eta _{i))^{s}={\frac {(\eta _{i}+\xi _{i})^{s}-{\eta _{i}}^{s}}{\xi ^{s}}}\xi ^{s}$ ${\displaystyle \xi _{s))$ ${\displaystyle {\frac {(\eta _{i}+\xi _{i})^{s}-{\eta _{i))^{s)){\xi ^{s))))$ ${\displaystyle \xi _{s))$ $x_{1}\in (\eta _{1},\eta _{1}+\xi _{1}),\tečky ,x_{n}\in (\eta _{n},\ eta _{n}+\xi _{n})$

\left\{{\begin{matrix}\xi _{1}+\tečky +\xi _{n}=\theta _{1}|I_{1}|\\x_{1}\xi _{1}+\tečky x_{n}\xi _{n}=\theta _{2}|I_{2}|\\\tečky \\{x_{1}}^{n-1}\xi _{1}+\tečky {x_{n}}^{n-1}\xi _{n}=\theta |I_{n}|\end{matrix}}\vpravo.

Maticí koeficientů tohoto systému je Vandermondova matice a je snadné analyzovat řešení systému na základě dobře známého výrazu pro determinant takových matic.

Schéma důkazu věty

Věta je dokázána v integrální formulaci. Důkaz se provádí indukcí a v několika fázích: $n$ $P$

Interval se rozdělí na určitý (v závislosti na ) počet podintervalů a vícenásobný goniometrický součet pod integrálem se rozloží na množinu takových součtů pro každou možnou kombinaci takových intervalů; $[1;P]$ $n$ $k$
Všechny sady podintervalů jsou rozděleny do dvou skupin:
- množiny, mezi nimiž jsou alespoň takové, že žádné dvě z nich nesousedí a nesplývají; $n$
- všechny ostatní sady.
Poté je celkový počet řešení omezen na součet počtu řešení pro množiny každé z těchto dvou množin (vynásobený konstantou 2).
Z první sady množin je vybrána taková, pro kterou je druhá mocnina modulu goniometrického součtu maximální. Poté se součet za všechny množiny triviálně odhadne vynásobením součtu za nejlepší množinu počtem množin.
Nerovností mezi aritmetickým a geometrickým průměrem ve vybrané množině první množiny proměnných jsou „zahnány“ do nějakého jednoho intervalu (tj. je dokázáno, že pokud místo toho procházejí určitým, jedním za všechny, intervalem vlastních, pak počet řešení neklesá). To znamená, že v této fázi je systém rovnic redukován do podoby, kdy proměnné procházejí různými, od sebe vzdálenými intervaly a proměnné procházejí jedním a tím samým intervalem. $2k-2n$ $2k$ $2n$ $2k-2n$
Počet řešení výsledné soustavy rovnic je vyjádřen součtem součinů počtu zobrazení určitého čísla
Počet zobrazení rozdílem součtů proměnných ze stejných intervalů je vyjmut ze závorek a odhadnut pomocí indukčního předpokladu (protože jak počet proměnných, tak rozsah jejich hodnot jsou malé ve srovnání s výchozími) ; $2k-2n$
Po vyjmutí faktoru ze závorek se výraz pro počet řešení rovnice změní na výraz pro počet řešení nerovnosti, který omezuje rozdíl dvou mocninných součtů. Počet řešení této nerovnosti se odhaduje prostřednictvím hlavního lemmatu.
Pro druhou sadu množin podintervalů je jednoduše dokázáno, že takových množin je velmi málo. Dále jsou všechny proměnné opět redukovány na jeden (ale kratší než ) interval, a to nám již umožňuje aplikovat induktivní předpoklad na nejlepší z nich (ve smyslu největšího počtu řešení). $P$

Aplikace

Historicky byl teorém poprvé použit při řešení Waringova problému , ale někdy se používá i v jiných oblastech teorie čísel – například k odhadu krátkých Kloostermanových součtů [1] .

Poznámky

↑ M. A. Korolev, Metody odhadu Kloostermanových krátkých sum, Chebyshevsky Sb., 2016, ročník 17, číslo 4, 79-109 . Staženo 14. 1. 2018. Archivováno z originálu 10. 3. 2018. (neurčitý)

Literatura

Vinogradov, Ivan Matveevič. Metoda goniometrických součtů v teorii čísel. — M .: Nauka, 1971.
Karacuba, Anatolij Alekseevič. Základy analytické teorie čísel. — M .: Nauka, 1983.