Hamiltonova věta
Tři úsečky spojující ortocentrum s vrcholy ostrého trojúhelníku jej rozdělují na tři hamiltonovské trojúhelníky , které mají stejnou Eulerovu kružnici ( kruh devíti bodů ) jako původní ostrý trojúhelník.
Příklad
Jestliže je na obrázku ortocentrum ostroúhlého trojúhelníku ABC označeno T , pak tři hamiltonovské trojúhelníky TAB , TBC a TCA mají společnou Eulerovu kružnici ( kružnici o devíti bodech ).
Sdružení
Tři Hamiltonovy trojúhelníky v Hamiltonově větě tvoří takzvané dračí oko .
Aplikace
Hamiltonova věta se používá jako integrální součást Johnsonovy věty (viz obrázek).
Důsledky
- Tři úsečky spojující ortocentrum s vrcholy ostrého trojúhelníku jej rozdělují na tři Hamiltonovy trojúhelníky se stejnými poloměry opsaných kružnic.
- Poloměry opsaných kružnic tří hamiltonovských trojúhelníků se rovnají poloměru kružnice opsané původnímu ostrému trojúhelníku. Říkejme jim Hamilton-Johnsonovy kruhy.
- Poloměry kružnic opsaných tří hamiltonovských trojúhelníků mají tři středy J A , J B a J C . Tyto tři středy tvoří vrcholy Johnsonova trojúhelníku ΔJ A J B J C , který je roven původnímu trojúhelníku Δ ABC a má párově rovnoběžné strany ( Johnsonova věta , viz obrázek).
- Vedeme- li vrcholy původního trojúhelníku ABC přímky rovnoběžné s opačnými stranami , dostaneme antikomplementární trojúhelník podobný původnímu trojúhelníku ABC , jehož vrcholy P A , P B a PC leží na třech Hamiltonových-Johnsonových kružnicích o stejných poloměrech . (viz obr.) .
Poznámka 1
Oba důsledky bezprostředně vyplývají z Hamiltonovy věty , pokud si všimneme, že poloměr Eulerovy kružnice je roven polovině poloměru kružnice opsané stejnému trojúhelníku.
Poznámka 2
- Pro tupý trojúhelník je Hamiltonův teorém přeformulován následovně. Postavme ortocentrum mimo tupoúhlý trojúhelník jako průsečík jeho dvou výšek, snížený z vrcholů dvou ostrých úhlů na pokračování jeho dvou stran, a pokračování třetí výšky nakreslené z vrcholu trojúhelníku. tupý úhel. Potom ortocentrum a dva vrcholy ostrých úhlů tvoří ostrý trojúhelník, na který platí Hamiltonova věta. Konkrétně samotný tupý trojúhelník bude jedním ze tří hamiltonovských trojúhelníků . Vrcholy dalších dvou Hamiltonových trojúhelníků jsou ortocentrum a vrcholy dvou sousedních stran, které svírají tupý úhel tupého trojúhelníku.
- U pravoúhlého trojúhelníku se ortocentrum shoduje s vrcholem pravého úhlu a jeden hamiltonovský trojúhelník se shoduje s tímto samotným pravoúhlým trojúhelníkem se správným poloměrem (průměrem) kružnice opsané . Zbývající dva Hamiltonovy trojúhelníky se zvrhnou ve dvě nohy ve vrcholu pravého úhlu. Prostřednictvím těchto dvou ramen (jako skrze trojúhelník se dvěma body - vrcholy) je možné nakreslit nekonečné množství opsaných kružnic s průměrem ne menším než je délka těchto ramen. To znamená, že Hamiltonův teorém je i v tomto limitním případě formálně splněn.
Příklad
Pokud je na obrázku ortocentrum ostroúhlého trojúhelníku ABC označeno T , pak pro tupý trojúhelník TBC bude ortocentrum bod A. Při přechodu z tupoúhlého trojúhelníku TBC do ostroúhlého trojúhelníku ABC lze opět použít Hamiltonovu větu .
Historie
Větu prokázal vynikající irský matematik a fyzik 19. století William (William) Rowan Hamilton v roce 1861. Hamilton, William Rowan (1806-1865) - irský matematik.
Literatura
Viz také