Johnson krouží

Množina Johnsonových kružnic se skládá ze tří kružnic o stejném poloměru r , které mají jeden společný průsečík H . V této konfiguraci mají kružnice obvykle čtyři průsečíky (body, kterými procházejí alespoň dvě kružnice) - jedná se o společný průsečík H , kterým procházejí všechny tři kružnice, a další bod pro každou dvojici kružnic (budeme mluvit o nich jako párové průsečíky). Pokud se libovolné dvě kružnice neprotínají (ale pouze dotýkají), mají pouze jeden společný bod - H , v takovém případě se má za to, že Hje také jejich párovým průsečíkem. Pokud se kružnice shodují, bod diametrálně protilehlý k bodu H se považuje za párový průsečík . Tři body párových průsečíků Johnsonových kružnic tvoří podpůrný trojúhelník Δ ABC obrázku. Konfigurace je pojmenována po Rogeru Arthuru Johnsonovi [1] [2] .

Poznámka

Pokud je původní podpěrný trojúhelník ABC ostroúhlý a předem určený, pak na základě Hamiltonovy věty jsou jeho tři Johnsonovy kružnice o stejných poloměrech jednoduše tři opsané kružnice tří Hamiltonových trojúhelníků , které mají dva vrcholy daného podpůrného trojúhelníku ABC jako dva vrcholy, a ortocentrum H podpůrného trojúhelníku jako třetí vrcholový

Vlastnosti

Středy Johnsonových kružnic leží na kružnici o stejném poloměru R jako Johnsonova kružnice a tato kružnice má jako střed bod H. Samotné středy kružnic tvoří Johnsonův trojúhelník ΔJ A J B J C .
Kružnice o poloměru 2 R se středem v bodě H , známá jako antikomplementární kružnice, je tečnou ke všem třem Johnsonovým kružnicím ( R je poloměr opsané kružnice trojúhelníku ABC ). Tři tečné body jsou odrazy bodu H vzhledem k vrcholům Johnsonova trojúhelníku .
Tečné body Johnsonových kružnic a antikomplementární kružnice tvoří trojúhelník, který se nazývá " antikomplementární trojúhelník " nebo " antikomplementární trojúhelník " referenčního (původního) trojúhelníku ABC . Tento trojúhelník je podobný a homotetický k Johnsonovu trojúhelníku s faktorem 2 a středem podobnosti H .
Johnsonova věta : Párové průsečíky Johnsonových kružnic (vrcholy trojúhelníku ABC ) leží na kružnici o stejném poloměru R jako Johnsonovy kružnice. Tato vlastnost je v Rumunsku dobře známá jako problém pěti mincí Gheorghe Ciceica .
Podpěrný trojúhelník je roven Johnsonovu trojúhelníku a je s ním homotetický s faktorem -1. To znamená, že Johnsonův trojúhelník přejde do referenčního trojúhelníku otočením jednoho z nich pod úhlem 180 stupňů vzhledem k jejich středu podobnosti.
Bod H je orthocenter referenčního trojúhelníku a circumcenter Johnsonova trojúhelníku .
Střed podobnosti Johnsonova trojúhelníku a referenčního trojúhelníku je jejich společným středem devíti bodů . To znamená, že Johnsonův trojúhelník a referenční trojúhelník mají společnou devítibodovou kružnici .
Komentář. Vrcholy Johnsonova trojúhelníku jsou označeny J A , J B a J C , tedy stejně jako středy kružnic referenčního trojúhelníku. Nejsou. Na základě věty o trojzubci máme pro střed kružnice tečny ke straně , kde střed vepsané kružnice referenčního trojúhelníku je průsečíkem sesečnice úhlu s kružnicí opsané trojúhelníku . Máme podobný vztah . Bod však neleží na kružnici opsané trojúhelníku (tj. není obdobou bodu ) a ortocentrum není středem kružnice vepsané referenčního trojúhelníku. $J_{B}$ $AC$ $|DI|=|DA|=|DC|=|DJ_{B}|$ $já$ $D$ $A$ $ABC$ $|J_{A}H|=|J_{A}C|=|J_{A}B|=|J_{A}P_{A}|$ $J_{A}$ $ABC$ $D$ $H$ $já$

Poznámka

H je ortocentrum trojúhelníku ABC (pak, na základě Hamiltonovy věty, jsou poloměry Johnsonových kružnic stejné). O je střed kružnice opsané trojúhelníku ABC . Stejně jako Hamiltonův teorém má Johnsonova věta smysl pouze pro ostré trojúhelníky. Body J A , J B a J C jsou označeny prvním písmenem jména Johnson a nejsou středy kružnic trojúhelníku ABC , které jsou označeny podobnými písmeny.

Důkazy

Vlastnost 1 je zřejmá z definice.

Vlastnost 2 je také jasná - pro jakoukoli kružnici o poloměru r a jakýkoli bod na ní P se kružnice s poloměrem 2 r a středem v P dotýká kružnice v bodě protilehlém k bodu P . Zejména to platí také pro P = H , kde kružnice o poloměru 2 r je antikomplementární kružnice C .

Vlastnost 3 vyplývá bezprostředně z definice podobnosti.

Pro vlastnosti 4 a 5 si nejprve povšimněte, že libovolné dvě ze tří Johnsonových kružnic jsou symetrické podle přímky procházející bodem H a bodem párového průsečíku těchto kružnic (nebo kolem společné tečny v H , pokud se tyto body shodují) a tato symetrie zamění dva vrcholy antikomplementárních trojúhelníků ležících na těchto kružnicích. Průsečíky párů jsou tedy středy antikomplementárního trojúhelníku a H leží na kolmici ke středu této strany. Středy stran jakéhokoli trojúhelníku jsou obrazy vrcholů trojúhelníku pod homothety s faktorem -1 a středem shodným s těžištěm trojúhelníku. Aplikujeme-li tuto vlastnost na antikomplementární trojúhelník, který sám získáme z Johnsonova trojúhelníku homotetií s faktorem 2, ze složení rovností dostaneme, že podpůrný trojúhelník je podobný Johnsonovu trojúhelníku s faktorem − 1. Protože taková homothety je kongruence , dává to vlastnost 5 a také dokazuje Johnsonovu větu, protože shodné trojúhelníky mají stejné opsané poloměry .

Vlastnost 6. Již bylo zjištěno, že kolmice ke středům stran antikomplementárního trojúhelníku procházejí bodem H . Protože tyto strany jsou rovnoběžné se stranami referenčního trojúhelníku, jsou tyto kolmice také výškami referenčního trojúhelníku.

Vlastnost 7 bezprostředně vyplývá z vlastnosti 6, protože střed podobnosti s faktorem -1 musí ležet uprostřed mezi středem kružnice opsané O referenčního trojúhelníku a bodem H . Bod H je ortocentrum podpůrného trojúhelníku a jeho devítibodový střed je známý jako tento střed. S ohledem na středovou symetrii mapující ortocentrum referenčního trojúhelníku na ortocentrum Johnsonova trojúhelníku je střed podobnosti také středem devíti bodů Johnsonova trojúhelníku.

Existuje také algebraický důkaz Johnsonovy věty o kružnicích pomocí jednoduchých vektorových vzorců. Existují vektory , a , všechny délky r a Johnsonovy kružnice mají středy v , respektive . Potom párové průsečíky jsou , respektive , a je jasné, že bod má vzdálenost r k jakémukoli párovému průsečíku. ${\vec {u}}$ $\vec{v}$ $\vec{w}$ $H+{\vec {u))$ $H+{\vec {v))$ $H+{\vec {w))$ $H+{\vec {u}}+{\vec {v}}$ $H+{\vec {u}}+{\vec {w}}$ $H+{\vec {v}}+{\vec {w}}$ $H+{\vec {u}}+{\vec {v}}+{\vec {w}}$

Další vlastnosti

Johnsonovy tři kružnice lze považovat za odrazy kružnice opsané kolem referenčního trojúhelníku vzhledem k jeho třem stranám. Navíc, když se ortocentrum H odrazí, jde do tří bodů na kružnici opsané kolem podpůrného trojúhelníku a tvoří vrcholy trojúhelníku ortokruhu , střed opsané kružnice O je mapován na vrcholy Johnsonova trojúhelníku a jeho Eulerova čára ( přímka procházející O , N a H ) tvoří tři přímky protínající se v bodě X (110).

Johnsonův trojúhelník a jeho referenční trojúhelník mají stejné devítibodové středy, stejnou Eulerovu čáru a stejné devítibodové kružnice . Šest bodů - vrcholy referenčního trojúhelníku a vrcholy jeho Johnsonova trojúhelníku - leží na Johnsonově elipse , která má střed ve středu devíti bodů a bod X (216) referenčního trojúhelníku je jejím perspektivním bodem . Opsaná elipsa a kružnice opsané mají čtyři společné body - tři vrcholy referenčního trojúhelníku a bod X (110).

A nakonec jsou v literatuře popsány dvě zajímavé kubické křivky, procházející vrcholy podpůrného trojúhelníku a jeho Johnsonova trojúhelníku a také středem kružnice opsané, ortocentrem a středem devíti kružnic. První křivka je známá jako Musselmannova křivka - K 026. Tato křivka také prochází vrcholy středního trojúhelníku a středního trojúhelníku Johnsonova trojúhelníku. Druhá křivka je známá jako Eulerova křivka středů - K 044. I tato křivka prochází šesti body - základnami výšek a základnami výšek Johnsonova trojúhelníku.

Bodový zápis X ( i ) patří do klasifikace Clarka Kimberlinga v Encyklopedie bodů trojúhelníku .

Poznámky

↑ Johnson, 1929 .
↑ Johnson, 1916 , str. 161-162.

Literatura

Roger Arthur Johnson. Moderní geometrie: Základní pojednání o geometrii trojúhelníku a kruhu. - Houghton: Mifflin Company, 1929.
Roger Arthur Johnson. A Circle Theorem // Americký matematický měsíčník . - 1916. - Vydání. 23 .

Odkazy

Weisstein, Eric W. Johnson Theorem (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
FM Jackson a Weisstein, Eric W. Johnson Circles (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
F. M. Jackson a Weisstein, Eric W. Johnson Triangle (anglicky) na Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. Johnson Circumconic (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. Anticomplementary Triangle (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. Circum-Orthic Triangle (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
Bernard Gibert Circumcubic K026 Archivováno 19. března 2007 na Wayback Machine
Bernard Gibert Circumcubic K044
Clark Kimberling, „ Encyklopedie trojúhelníkových center Archivováno 19. dubna 2012 na Wayback Machine “. (Uvádí asi 3000 zajímavých bodů spojených s jakýmkoli trojúhelníkem.)