Leviho věta o kontinuitě

Leviho teorém v teorii pravděpodobnosti je výsledkem, který spojuje bodovou konvergenci charakteristických funkcí náhodných veličin s konvergencí těchto náhodných veličin v distribuci .

Formulace

Dovolit být posloupnost náhodných proměnných nemusí být nutně definována na stejném pravděpodobnostním prostoru . Charakteristickou funkci náhodné veličiny , kde , označme symbolem . Pak pokud distribucí na , a je charakteristická funkce , pak $\{X_n\}_{n=1}^{\infty}$ $X_n$ $n\in \mathbb {N}$ $\varphi _{n}(t)$ $X_{n}\to X$ $n\to\infty$ $\varphi (t)$ $X$

\varphi _{n}(t)\to \varphi (t)\quad \forall t\in \mathbb {R}

A naopak, jestliže , kde je funkce reálného argumentu spojitá v nule, pak je charakteristická funkce nějaké náhodné veličiny a $\varphi _{n}(t)\to \varphi (t)\;\forall t\in \mathbb {R}$ $\varphi \in C(0)$ $\varphi (t)$ $X$

X_{n}\to X

distribucí na .

n\to\infty

Poznámka

Protože charakteristická funkce libovolné náhodné veličiny je spojitá v nule, má druhé tvrzení následující triviální důsledek. Jestliže , kde je charakteristická funkce , a je charakteristická funkce , pak podle rozdělení na . Využití této skutečnosti při dokazování konvergence v rozdělení se někdy nazývá metoda charakteristických funkcí . Metoda charakteristických funkcí je standardní způsob dokazování klasické centrální limitní věty . $\varphi _{n}(t)\to \varphi (t)\;\forall t\in \mathbb {R}$ $\varphi _{n}(t)$ $X_n$ $\varphi (t)$ $X$ $X_{n}\to X$ $n\to\infty$

Leviho věta o kontinuitě

Formulace

Poznámka

Viz také