Levitského teorém

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 9. dubna 2022; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Levitsky teorém , pojmenovaný po izraelském matematikovi Yaakov Levitsky , říká, že nějaký jednostranný nulový ideál v pravém Noetherian prstenu je nutně nilpotent [1] [2] . Věta je jedním z mnoha výsledků, které svědčí o pravdivosti Koethovy domněnky a navíc poskytují řešení jedné z Koethových otázek, jak je popsáno v Levitského článku [3] . Výsledek byl získán v roce 1939, ale publikován až v roce 1950 [4] . Poměrně jednoduchý důkaz podal Utumi v roce 1963 [5] .

Důkaz

Níže je Utumiho zdůvodnění (jak je uvedeno v Lamově článku [6] )

Lemma [7]

Předpokládejme, že R splňuje podmínku ukončení vzestupného řetězce na anihilátorech formy , kde a patří k R . Pak

  1. Jakýkoli jednostranný nulový ideál je obsažen v nižším nulovém radikálu ;
  2. Jakýkoli nenulový pravý nilideal obsahuje nenulový nilpotentní pravý ideál.
  3. Jakýkoli nenulový levý nilideal obsahuje nenulový nilpotentní levý ideál.
Levitského věta [8]

Nechť R je pravý noetherovský prstenec. Pak je jakýkoli jednostranný nilideal R nilpotentní. V tomto případě jsou horní a dolní nilradikály rovnocenné a navíc je tento ideál největším nilpotentním ideálem mezi nilpotentními pravicovými ideály a mezi nilpotentními levými ideály.

Důkaz : Na základě výše uvedeného lemmatu stačí ukázat, že nižší nulový radikál R je nilpotentní. Protože R je pravý noetherovský kruh, existuje maximální nilpotentní ideální N. Maximalita N znamená, že kvocientový kruh R / N nemá žádné nenulové nilpotentní ideály, takže R / N je polojednoduchý kruh . V důsledku toho N obsahuje nižší nulový radikál kruhu R. Protože nižší nilradikál obsahuje všechny nilpotentní ideály, obsahuje také N a pak se N rovná nižšímu nilradikálu.

Viz také

Poznámky

  1. ↑ Herstein, 1968 , s. 37 Věta 1.4.5.
  2. ↑ Isaacs, 1993 , str. 210 Věta 14,38.
  3. ↑ Levitzki, 1945 .
  4. ↑ Levitzki, 1950 .
  5. ↑ Utumi, 1963 .
  6. ↑ Lam, 2001 , str. 164-165.
  7. ↑ Lam, 2001 , str. Lemma 10.29.
  8. ↑ Lam, 2001 , str. Věta 10.30.

Literatura