Lindemann-Weierstrassova věta

Lindemann-Weierstrassova věta , která je zobecněním Lindemannovy věty, dokazuje transcendenci velké třídy čísel. Věta říká následující [1] :

Jestliže jsou různá algebraická čísla lineárně nezávislá na , pak jsou algebraicky nezávislá na , to znamená, že stupeň transcendence rozšíření je $\alpha _{1},\alpha _{2},\tečky \alpha _{n}$ $\mathbb {Q}$ $e^{{\alpha _{1}}},e^{{\alpha _{2}}},\tečky e^{{\alpha _{n}}}$ $\mathbb {Q}$ ${\mathbb {Q}}(e^{{\alpha _{1}}},e^{{\alpha _{2}}},\tečky e^{{\alpha _{n}}})$ $n$

Často se používá jiná ekvivalentní formulace [2] :

Pro všechna zřetelná algebraická čísla jsou čísla lineárně nezávislá na poli algebraických čísel . $\alpha _{1},\alpha _{2},\tečky \alpha _{n}$ $e^{{\alpha _{1}}},e^{{\alpha _{2}}},\tečky e^{{\alpha _{n}}}$ $\overline {{\mathbb {Q}}}$

Historie

V roce 1882 Lindemann dokázal, že je transcendentální pro jakoukoli nenulovou algebraiku [3] , av roce 1885 Karl Weierstrass dokázal obecnější tvrzení výše. $e^{\alpha }$ $\alpha$

Transcendence čísel e a π vyplývá snadno z Lindemann-Weierstrassovy věty .

Důkaz transcendence π

Aplikujeme metodu důkazu kontradikcí . Předpokládejme, že číslo je algebraické. Pak je číslo , kde je imaginární jednotka , také algebraické, proto je podle Lindemann-Weierstrassovy věty číslo transcendentální, ale podle Eulerovy identity se rovná algebraickému číslu , což způsobuje rozpor. Proto je číslo transcendentální. $\pi$ $i\pi$ $i$ ${\displaystyle e^{i\pi ))$ $-jeden$ $\pi$

Poznámky

↑ Weisstein, Eric W. Lindemann–Weierstrass teorem (anglicky) na webu Wolfram MathWorld .
↑ Alan Baker. Transcendentální teorie čísel. - Cambridge University Press, 1975. - ISBN 052139791X . . Kapitola 1, Věta 1.4.
↑ F. Lindemann. Über die Zahl π (německy) // Mathematische Annalen. — bd. 20 (1882) . - S. 213-225 .

Literatura

Leng S. Algebra. - Moskva: Mir, 1968. - 564 s.
Shidlovsky A. B. "Diophantine aproximace a transcendentální čísla" (M. FIZMATLIT, 2007) ISBN 978-5-9221-0720-4