Newtonova-Leibnizova věta

Newton-Leibniz rovnice , nebo základní teorém analýzy , dává vztah mezi dvěma operacemi: brát Riemann integrál a počítat primitivní .

Formulace

Klasická formulace vzorce Newton-Leibniz je následující.

Pokud je funkce spojitá na segmentu a je libovolnou z jejích primitivních funkcí na tomto segmentu, pak je to rovnost $\textstyle f(x)$ $\left[a,b\right]$ $\textstyle \Phi (x)$

\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=\Phi (b)-\Phi (a)={\Bigg .}\Phi (x){\Bigg |} _{a}^{b}

Důkaz

Nechť je na segmentu dána integrovatelná funkce . $\left[a,b\right]$ $\textstyle f$

Nastavíme libovolnou hodnotu a definujeme novou funkci . Je definován pro všechny hodnoty , protože víme, že pokud existuje integrál on , pak existuje i integrál on , kde . Připomeňme, že uvažujeme podle definice $\textstyle x\in \left[a,b\right]$ $\textstyle F(x)=\int \limits _{a}^{x}f(t)\,dt$ $\textstyle x\in \left[a,b\right]$ $\textstyle f$ $\left[a,b\right]$ $\textstyle f$ $\left[a,x\right]$ $a\leqslant x\leqslant b$

$F(a)=\int \limits _{a}^{a}f(t)\,dt=0$ (jeden)

všimněte si, že

$F(b)=\int \limits _{a}^{b}f(t)\,dt$

Ukažme, že je spojitá na segmentu . Vskutku, nechť ; pak $\textstyle F$ $\left[a,b\right]$ $x,x+h\in\left[a,b\vpravo]$

$F(x+h)-F(x)=\int \limits _{a}^{{(x+h)}}f(t)\,dt-\int \limits _{a}^{x} f(t)\,dt=\int \limits _{x}^{{(x+h)}}f(t)\,dt$

a když , tak $K=sup|f(t)|,a\leqslant t\leqslant b$

$|F(x+h)-F(x)|\leqslant {\bigg |}\int \limits _{x}^{{(x+h)))f(t)\,dt{\bigg |} \leqslant K|h|\na 0,h\na 0$

Je tedy spojitý na bez ohledu na to, zda má diskontinuity nebo ne; je důležité, aby byl integrovatelný na . $\textstyle F$ $\left[a,b\right]$ $\textstyle f$ $\textstyle f$ $\left[a,b\right]$

Obrázek ukazuje graf . Plocha proměnné postavy je . Jeho přírůstek se rovná ploše obrázku , která má v důsledku omezení očividně tendenci k nule bez ohledu na to, zda se jedná o bod kontinuity nebo diskontinuity , například bod .

\textstyle f

\textstyle aABx

\textstyle F(x)

\textstyle F(x+h)-F(x)

\textstyle xBC(x+h)

\textstyle f

h\na 0

\textstyle x

\textstyle f

\textstyle xd

Nyní nechť je funkce nejen integrovatelná na , ale je spojitá v bodě . Dokažme, že pak má v tomto bodě derivaci rovnou $\textstyle f$ $\left[a,x\right]$ $x\in\left[a,x\vpravo]$ $\textstyle F$

$\textstyle F'(x)=f(x)$ (2)

Opravdu, k danému bodu $\textstyle x$

${\dfrac {F(x+h)-F(x)}{h}}={\dfrac {1}{h}}\int \limits _{x}^{{x+h}}f(t )\,dt={\dfrac {1}{h}}\int \limits _{x}^{{x+h}}(f(x)+\eta (t))\,dt$ $={\dfrac {1}{h}}\int \limits _{x}^{{x+h}}f(x)\,dt+{\dfrac {1}{h}}\int \limits _{ x}^{{x+h}}\eta (t)\,dt=f(x)+o$ (1), (3) $h\na 0$

Vložíme , a protože konstanta je relativní k , pak . Dále, kvůli návaznosti v bodě , pro kohokoli lze zadat takové , že pro . $\textstyle f(t)=f(x)+\eta (t)$ $\textstyle f(x)$ $\textstyle t$ $\textstyle \int \limits _{x}^{{x+h}}f(x)\,dt=f(x)h$ $\textstyle f$ $\textstyle x$ $\textstyle \varepsilon >0$ $\textstyle \delta$ $\textstyle |\eta (t)|<\varepsilon$ $\textstyle |xt|<\delta$

Proto

$\left|{\dfrac {1}{h}}\int \limits _{x}^{{x+h}}\eta (t)\,dt\right|\leqslant {\dfrac {1}{| h|}}|h|\varepsilon =\varepsilon ,|h|<\delta$

což dokazuje, že levá strana této nerovnosti je o(1) pro . $\textstyle h\to 0$

Přechod do limity v (3) at ukazuje existenci derivace v bodě a platnost rovnosti (2). Zde mluvíme o pravé a levé derivaci, resp. $\textstyle h\to 0$ $\textstyle F$ $\textstyle x$ $\textstyle x=a,b$

Pokud je funkce spojitá na , pak na základě toho, co bylo dokázáno výše, odpovídající funkce $\textstyle f$ $\left[a,b\right]$

$F(x)=\int \limits _{a}^{x}f(t)\,dt$ (čtyři)

má derivaci rovnou . Funkce je tedy primitivní pro on . $\textstyle f(x):F'(x)=f(x),a\leqslant x\leqslant b$ $\textstyle F(x)$ $\textstyle f$ $\left[a,b\right]$

Tento závěr se někdy nazývá integrální teorém proměnné horní meze nebo Barrowova věta .

Dokázali jsme, že libovolná spojitá funkce na intervalu má na tomto intervalu primitivní prvek, definovaný rovností (4). To dokazuje existenci primitivní funkce pro jakoukoli funkci spojitou na intervalu. $\left[a,b\right]$ $\textstyle f$

Nechť je nyní libovolná primitivní derivace funkce na . Víme, že kde je nějaká konstanta. Za předpokladu této rovnosti a při zohlednění této rovnosti získáme . $\textstyle \Phi$ $\textstyle f(x)$ $\left[a,b\right]$ $\textstyle \Phi (x)=F(x)+C$ $\textstyle C$ $\textstyle x=a$ $\textstyle F(a)=0$ $\textstyle \Phi (a)=C$

Tedy, . Ale $\textstyle F(x)=\Phi (x)-\Phi (a)$

$\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)$

Proto

$\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=\Phi (b)-\Phi (a)=\Phi (x){\bigg |}{\begin{matice }x=b\\\\x=a\end{matrix}}$

Ve skutečnosti je však požadavek na kontinuitu integrandu nadbytečný. K naplnění tohoto vzorce stačí pouze existence levé a pravé části.

Je-li funkce integrovatelná a má na segmentu primitivní prvek , — jakékoli jeho primitivní prvky na tomto segmentu, pak rovnost $\textstyle f(x)$ $\left[a,b\right]$ $\textstyle \Phi (x)$

\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=\Phi (b)-\Phi (a)={\Bigg .}\Phi (x){\Bigg |} _{a}^{b}

Kontinuita je v praxi výhodná podmínka, protože okamžitě zaručuje integrovatelnost i existenci primitivního prvku. V jeho nepřítomnosti je pro správnou aplikaci nutné obě tyto vlastnosti zkontrolovat, což je někdy obtížné. Existují integrovatelné funkce, které nemají primitivní derivaci (jakákoli funkce s konečným počtem bodů nespojitosti nebo Riemannova funkce ), a neintegrovatelné funkce, které mají primitivní funkci (derivát doplněný nulou v nule, na libovolném segmentu obsahujícím 0, popř. funkce Volterra ). ${\displaystyle x^{2}\sin {\frac {1}{x^{2))))$

Vzorec lze zobecnit na případ funkcí s konečným počtem nespojitostí. Abychom toho dosáhli, musíme zobecnit pojem primitivní. Nechť je funkce definována na segmentu , snad s výjimkou konečného počtu bodů. Funkce se nazývá zobecněná primitivní funkce , pokud: $F$ $[a;b]$ $F$ $F$

Průběžně na segmentu $[a;b]$
Ve všech bodech , snad s výjimkou konečného počtu z nich, je diferencovatelný $[a;b]$
Ve všech bodech, kde je diferencovatelný, snad kromě konečného počtu z nich, je jeho derivace . $F$

Tato definice nevyžaduje, aby byla derivace stejná ve všech bodech, kde je diferencovatelná. S tímto konceptem lze zobecnit Newton-Leibnizův vzorec ještě silněji. $F$ $F$ $F$

Nechť je definován všude, snad kromě konečného počtu bodů. Je-li funkce integrovatelná a má na segmentu zobecněnou primitivu , — kterákoli z jejích zobecněných primitiv na tomto segmentu, pak rovnost $F$ $[a;b]$ $\textstyle f(x)$ $\left[a,b\right]$ $F(x)$

\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)={\Bigg .}F(x){\Bigg |}_{a }^{b}

Důkaz

Vzhledem k tomu, že funkce je integrovatelná, lze uvažovat jakoukoli sekvenci oddílů s vyznačenými body, jejichž průměr má tendenci k nule. Limita integrálních součtů nad nimi bude rovna integrálu. $F$

Uvažujme posloupnost oddílů segmentu tak, že průměr oddílu má tendenci k nule jako . Zahrnme také do každého z těchto oddílů body úsečky, ve kterých není diferencovatelná nebo její derivace není rovna . S těmito dodatečnými dělicími body označte . $[a;b]$ $\{T_{n}\}$ $n\to +\infty$ $[a;b]$ $F$ $F$ $T_{n}'$

Nyní na ně nastavíme označené body. Opravujeme konkrétní oddíl . Pak je podle předpokladu funkce spojitá na každém ze segmentů a diferencovatelná na intervalech . Podmínky Lagrangeovy věty jsou splněny, a proto existuje takový bod , že . Tyto body bereme jako označené dělicí body . Pak bude celý součet přes takový oddíl roven . $T_{n}=\{a=x_{0},\ldots ,x_{n}=b\}$ $F$ $[x_{i-1};x_{i}]$ $(x_{i-1};x_{i})$ $\xi _{i}\in (x_{i-1};x_{i})$ $f(\xi _{i})(x_{i}-x_{i-1})=F(x_{i})-F(x_{i-1})$ $\Xi _{n}=(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})$ $T_{n}'$ $:\sigma (f,T_{n}',\Xi _{n})=f(\xi _{1})(x_{1}-x_{0})+f(\xi _{ 2})(x_{2}-x_{1})+\ldots +f(\xi _{n})(x_{n}-x_{n-1})=-F(x_{0})+ F(x_{1})-F(x_{1})+F(x_{2})-\ldots -F(x_{n-1})+F(x_{n})=F(x_{n })-F(x_{0})=F(b)-F(a)$

\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dt=\lim _{n\to +\infty }\sigma (f,T_{n}',Xi_{n}) =F(b)-F(a)

Výše uvedený důkaz je zajímavý tím, že kromě jeho přímé definice nevyužil žádnou z vlastností integrálu. Neposkytuje však důkaz Newton-Leibnizova vzorce v klasické formulaci: k tomu je nutné dodatečně dokázat, že jakákoli spojitá funkce je integrovatelná a má primitivní prvek.

Poznámka . Bezmyšlenkovitá aplikace vzorce na funkce, které nejsou spojité, může vést k chybě. Příklad nesprávného výpočtu:

\int \limits _{-1}^{1}{\frac {dx}{x^{2}}}=-{\frac {1}{x}}{\bigg |}_{- 1}^{1}=-1-1=-2,

ačkoli integrál kladné funkce nemůže být záporný.

Příčina chyby: funkce není primitivní (ani zobecněná) pro funkci na segmentu , jednoduše proto, že není definována na nule. Funkce nemá v tomto segmentu vůbec žádnou primitivní funkci. Navíc tato funkce také není omezena v blízkosti nuly, a proto není Riemannově integrovatelná. $-{\frac {1}{x}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{x^{2))))$ $[-1;1]$

Historie

Ještě před příchodem matematické analýzy byl tento teorém (v geometrické nebo mechanické formulaci) známý Gregorymu a Barrowovi . Například Barrow popsal tuto skutečnost v roce 1670 jako vztah mezi kvadraturami a tečnými úlohami .

Newton formuloval větu slovně takto: „Aby se získala správná hodnota oblasti sousedící s nějakou částí úsečky , měla by se tato oblast vždy rovnat rozdílu hodnot z [antiderivativ] odpovídající částem úsečky. úsečka ohraničená začátkem a koncem oblasti."

Leibniz také nemá záznam tohoto vzorce v jeho moderní podobě, protože zápis určitého integrálu se objevil mnohem později, ve Fourierovi na začátku 19. století.

Moderní formulaci dal Lacroix na začátku 19. století.

Význam

Základní teorém analýzy zakládá spojení mezi diferenciálním a integrálním počtem . Pojem primitivní (a tedy i pojem neurčitého integrálu) je definován prostřednictvím pojmu derivace a patří tedy k diferenciálnímu počtu. Na druhé straně je pojem určitého Riemannova integrálu formalizován jako limita, ke které konverguje tzv. integrální součet. Je nezávislý na pojmu derivace a patří do jiného oboru analýzy - integrálního počtu. Newton-Leibnizův vzorec nám umožňuje vyjádřit určitý integrál pomocí primitivní derivace.

Lebesgueův integrál

Funkce je neurčitý integrál sčítatelné funkce . Funkce je absolutně nepřetržitá . $F(x):=C+\int \limits _{a}^{x}f(t)dt$ $f(x)$ $F(x)$

Věta ( Lebesgue ): je absolutně spojitá na intervalu právě tehdy, když existuje integrovatelný na funkci takový, že pro jakoukoli hodnotu x od a do b . $f(x)$ $[a,b]$ $[a,b]$ $G$ $f(x)=f(a)+\int \limits _{a}^{x}g(t)dt$

Z této věty vyplývá, že pokud je funkce absolutně spojitá na , pak její derivace existuje téměř všude , je integrovatelná a splňuje rovnost [1] : $F$ $[a,b]$

f(x)=f(a)+\int \limits _{a}^{x}f'(t)dt

, kde .

x\in[a,b]

Některé důsledky

Jako důsledek této věty lze jmenovat vzorec pro změnu proměnných a také Lebesgueovu expanzní větu pro monotónní funkce [1] .

Integrace po částech

Nechť a být absolutně spojité funkce na segmentu . Pak: $F$ $G$ $[a,b]$

\int \limits _{a}^{b}f'(x)g(x)dx=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int \limits _{ a}^{b}f(x)g'(x)dx

Vzorec bezprostředně vyplývá z hlavní věty analýzy a Leibnizova pravidla [1] .

Variace a zobecnění

Viz také

Poznámky

↑ 1 2 3 Bogachev V. I. , Smolyanov O. G. Reálná a funkční analýza: vysokoškolský kurz. - M.-Iževsk: Výzkumné centrum "Regulární a chaotická dynamika", Institut počítačového výzkumu, 2009. - S. 188-197. — 724 s. - ISBN 978-5-93972-742-6 .

Literatura

Demidovich B. P. Oddělení 3. Newton-Leibnizův vzorec // Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy. - 1990. - (Kurz vyšší matematiky a matematické fyziky).
Kamynin L. I. Matematická analýza. T. 1, 2. - 2001.
Nikiforovský V. A. Cesta k integrálu. — M .: Nauka, 1985.