Nash-Moserova věta

Nash-Moserova věta je jedním ze zobecnění věty o inverzní funkci . Variantu této věty použil John Forbes Nash při dokazování Pravidelné věty o vkládání . Z jeho příspěvku je zřejmé, že jeho metodu lze zobecnit. Juergen Moser ukázal, že Nashova metoda je použitelná pro řešení problémů periodické dráhy v nebeské mechanice v Kolmogorov-Arnold-Moserově teorii . K dnešnímu dni existuje několik verzí znění, které vlastní Gromov , Hamilton , Hermander , Moser, Saint-Raymond, Schwartz a Sergerart.

Jeden z důkazů věty je založen na použití upravené verze Newtonova procesu pro nalezení řešení rovnice. Jiné přístupy, zejména ty Nashe a Hamiltona, následují řešení obyčejné diferenciální rovnice ve funkčním prostoru.

Myšlenka důkazu

Tato část je určena pouze k popisu myšlenky, a proto je záměrně nepřesná.

Předpokládejme, že se jedná o diferenciální operátor prvního řádu definovaný na hladkých funkcích mezi vektorovými prostory , takže definuje mapování pro každý . Předpokládejme, že pro nějakou funkci má linearizace pravý inverzní operátor pro jakoukoli funkci dostatečně blízko . $P$ ${\displaystyle P\colon C^{k+1}\to C^{k))$ $k$ $f_{0}\in C^{k+1}$ ${\displaystyle D_{f}P\dvojtečka C^{k+1}\to C^{k))$ ${\displaystyle S_{f}\colon C^{k}\to C^{k))$ $F$ $f_0$

Všimněte si, že složení a ztrácí jeden derivát . Z toho je vidět, že pokusy použít Newtonovu metodu k nalezení řešení selhávají. To znamená, že if je posloupnost funkcí určená iterativně $S_{f}\circ D_{f}P$ ${\displaystyle P(f)=g_{\infty ))$ $(f_{n})$

f_{n+1}=f_{n}+S_{f_{n}}{\big (}g_{\infty }-P(f_{n}){\big )},

pak z toho vyplývá , a pak . Ze stejných důvodů , , a tak dále. Po konečném počtu kroků musí iterace skončit, protože ztratí veškerou pravidelnost a další krok nebude ani určen. $f_{0}=f\in C^{k+1}$ ${\displaystyle g_{\infty }-P(f_{0})\in C^{k))$ $f_{1}\in C^{k}$ $f_{2}\in C^{k-1}$ $f_{3}\in C^{k-2}$

K vyřešení tohoto problému Nash používá vyhlazovací operátor , který pro danou funkci vrací hladkou funkci, která se blíží originálu if . Poté se určí "vyhlazená" Newtonova iterace $\Opalování$ $F$ $\theta _{n}(f_{n})$ $n$

f_{n+1}=f_{n}+S_{f_{n}}{\big (}\theta _{n}(g_{\infty }-P(f_{n})){\ velký )}.

Tento upravený proces nečelí stejným potížím jako předchozí „nevyhlazená“ verze, protože jde o iteraci v prostoru hladkých funkcí , která nikdy neztrácí pravidelnost.

Se správně zvolenými vyhlazovacími operátory tato sekvence skutečně konverguje k řešení ; to je . ${\displaystyle f_{\infty ))$ $P(f_{\infty })=g_{\infty }$

Literatura

M. L. Gromov . Vyhlazování a inverze diferenciálních operátorů // Matem. So - 1972. - T. 88 (130) , č. 3 (7) . — S. 382–441 . (Ruština)

Gromov M. Diferenciální vztahy s parciálními derivacemi. — M .: Mir, 1990. — 536 s. - ISBN 5-03-001297-4 , 3-540-12177-3.

J. Nash . Problém vkládání pro Riemannovy manifoldy // Uspekhi Mat . - 1971. - T. 26 , č. 4 (160) . - S. 173-216 .

Hamilton, Richard S. (1982), Věta o inverzní funkci Nashe a Mosera , Bull. amer. Matematika. soc. (NS) svazek 7 (1): 65–222, doi : 10.1090 / S0273-0979-1982-15004-2 -1982-15004-2 >

Hörmander, Lars (1976), Hraniční problémy fyzikální geodézie, Arch. Rational Mech. Anální. T. 62 (1): 1-52
- Hörmander, L. (1977), Oprava k: "Okrajové problémy fyzikální geodézie", Arch. Rational Mech. Anální. T. 65 (44): 395

Moser, Jürgen (1966a), Rychle konvergentní iterační metoda a nelineární parciální diferenciální rovnice. Já , Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3) sv. 20:265–315 , < http://www.numdam.org/item?id=ASNSP_1966_3_20_2_265_0 >

Moser, Jürgen (1966b), Rychle konvergentní iterační metoda a nelineární parciální diferenciální rovnice. II , Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3) sv. 20: 499–535 , < http://www.numdam.org/item?id=ASNSP_1966_3_20_3_499_0 >

Nash, John (1956), The imbedding problem for Riemannian manifolds , Annals of Mathematics vol. 63 (1): 20–63 , DOI 10.2307/1969989 .

Saint-Raymond, Xavier (1989), jednoduchý Nash-Moserův implicitní teorém, Enseign. Matematika. (2) T. 35 (3-4): 217-226

Schwartz, J. (1960), O Nashově implicitní funkční větě, Comm. Čisté jablko. Matematika. T. 13: 509-530

Sergeraert, Francis (1972), Un théorème de fonctions implicites sur sures espaces de Fréchet et quelques applications, Ann. sci. Ecole Norm. Sup. (4) svazek 5: 599-660

Zehnder, E. , Věty o zobecněné implicitní funkci s aplikacemi na některé problémy malého dělitele. I Comm. Čisté jablko. Matematika. T. 28: 91-140

Zehnder, E. , Věty o zobecněné implicitní funkci s aplikacemi na některé problémy malého dělitele. II, Comm. Čisté jablko. Matematika. T. 29 (1): 49-111