Parsevalova věta

Parsevalův teorém je obvykle chápán jako unitarita Fourierovy transformace . To znamená, že součet (nebo integrál) druhé mocniny funkce se rovná součtu (nebo integrálu) druhé mocniny výsledku transformace. Je třeba poznamenat, že obecná forma Parsevalova teorému se často nazývá Plancherelova teorém nebo zobecněná Rayleighova rovnice . Věta byla prokázána pro řady Marc-Antoine Parseval v roce 1799 a později byla aplikována na Fourierovy řady .

Věta má tvar

\int \limits _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}dt=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|{\mathcal { F}}\{x(t)\}|^{2}dw,

kde označuje spojitou Fourierovu transformaci , která vztahuje časový nebo prostorový signál k jeho reprezentaci ve frekvenční doméně . $\mathcal{F}\{\cdot\}$ $x(t)$ $X(f)$

Obecnější a přesnější formulace Parsevalovy věty v teorii Fourierova integrálu vypadá takto. Nechť funkce a patří do prostoru čtvercových integrovatelných funkcí a nechť a jsou jejich Fourierovy transformace, resp. Pak: [1] $f_{1}(x)$ $f_{2}(x)$ $L^{2}$ $g_{1}(u)$ $g_{2}(u)$

\int _{-\infty }^{\infty }g_{1}(u)g_{2}(u)du=\int _{-\infty }^{\infty }f_{1}( x)f_{2}(-x)dx

V diskrétní formě je věta zapsána takto:

\sum_{i=0}^{N-1} | x(i) |^2 = {1\přes N} \sum_{k=0}^{N-1} | X(k) |^2

kde je diskrétní Fourierova transformace signálu se vzorky. $X(k)$ $x(k)$ $N$

Parsevalův teorém stanoví rovnost mezi energií signálu a energií jeho spektra.

Příklad kódu v MATLABu demonstrující Parsevalovu větu

N = 100 ; % počtu vzorků x = randn ( 1 , N ); % normální distribuce Et = norma ( x ) ^ 2 ; % nebo tak nějak: Et = suma(x.^2); fprintf ( 'energie signálu časové domény:%f \n' , Et ); X = fftn ( x ); Ew = 1 / N * norma ( X ) ^ 2 ; % nebo tak: Ew = 1/N * součet(abs(X).^2); fprintf ( 'Energie signálu ve frekvenční doméně:%f \n' , Ew ); xnew = ifftn ( X ); Etn = norma ( xnew ) ^ 2 ; % nebo takto: Etn = sum(xnew.^2); fprintf ( 'energie signálu časové domény:%f \n' , Etn ); Výsledek programu _ ------------------------------ Energie signálu časové domény : 94.236108 Energie signálu frekvenční domény : 94.236108 Energie signálu časové domény : 94.236108

Poznámky

↑ N. Wiener Fourierova transformace v komplexní oblasti. - M., Nauka, 1964. - str. jedenáct

Literatura

Baskakov, S. I. Radiotechnické obvody a signály. - 3. vyd. - M. : "Vysoká škola", 2000. - 462 s. — ISBN 5-06-003843-2 .
Gonorovsky, I. S. Radiotechnické obvody a signály. - 4. vyd. - M. : "Rozhlas a komunikace", 1986. - 512 s.

Parsevalova věta

Poznámky

Literatura

Viz také