Poincarého věta o klasifikaci homeomorfismů kruhu

V teorii dynamických systémů popisuje Poincareho teorém o klasifikaci homeomorfismů kruhu možné typy reverzibilní dynamiky na kruhu v závislosti na rotačním čísle f iterovaného zobrazení. Zhruba řečeno se ukazuje, že dynamika iterací mapování je do jisté míry podobná dynamice rotace o odpovídající úhel.

Jmenovitě, nechť je dán kruhový homeomorfismus f. Pak:

1) Rotační číslo je racionální právě tehdy, když f má periodické body . V tomto případě je jmenovatelem rotačního čísla perioda libovolného periodického bodu a cyklické pořadí na kružnici bodů libovolné periodické oběžné dráhy je stejné jako pořadí bodů oběžné dráhy na . Dále, jakákoli trajektorie má tendenci k nějaké periodické jak v dopředném, tak i zpětném čase ( trajektorie - a -limitní trajektorie se v tomto případě mohou lišit).

2) Pokud je číslo rotace f iracionální, jsou možné dvě možnosti:

i) buď f má hustou orbitu, v takovém případě je homeomorfismus f konjugován s rotací na . V tomto případě jsou všechny oběžné dráhy f husté (protože toto platí pro iracionální obrat ); ii) buď f má Cantorovu invariantní množinu C, což je jedinečná minimální množina systému. V tomto případě mají všechny trajektorie tendenci k C jak v dopředném, tak i zpětném čase. Navíc je zobrazení f semiadjunktní k rotaci o : pro nějaké zobrazení h stupně 1,

Navíc množina C je přesně množinou růstových bodů h — jinými slovy, z topologického hlediska h sbalí intervaly komplementu na C.

Viz také

Odkazy