Rees-Fischerova věta

Ries-Fischerův teorém je výrok o funkcionální analýze o izometrii a izomorfismu Lebesgueova prostoru a Hilbertova prostoru . $L_{{2}}\left(a,b\right)$ $l_{{2}}$

Osvědčený v roce 1907 nezávisle Frigyes Ries a Ernst Fischer ( Ernst Sigismund Fischer ) .

Důkaz

Vezměme si ve vesmíru nějaký úplný ortonormální systém . Pak pro všechny , které máme , a na základě Parsevalovy rovnosti . Na posloupnost Fourierových koeficientů funkce lze tedy pohlížet jako na prvek Hilbertova prostoru . V tomto případě je korespondence jasná. Nechť je naopak dán prvek Hilbertova prostoru . Uvažujme formálně řadu , kde je stejný úplný ortonormální systém. Posloupnost dílčích součtů této řady sama o sobě v průměru konverguje, protože pro a díky konvergenci řady . Protože je prostor úplný, znamená to, že řada konverguje, její součet má Fourierovy koeficienty a tento součet dáme do korespondence s prvkem . Korespondence je opět jasná. Takže jsme vytvořili vzájemnou korespondenci mezi prvky prostoru a . Protože, samozřejmě, a vyplývá z , to znamená, že námi stanovená korespondence je izomorfismus. Konečně, pro jakékoli dva prvky máme na základě Parsevalovy rovnosti a námi stanovená korespondence zachová vzdálenost, to znamená, že jsou izometrické . $L_{{2}}\left(a,b\right)$ $\left\{\varphi _{{i}}(t)\right\}$ $x(t)\v L_{{2}}\left(a,b\vpravo)$ $x(t)=\sum _{{i=1}}^{{\infty }}\xi _{{i}}\varphi _{{i}}(t),\xi _{{i}} =\left(x,\varphi _{{i}}\right)$ $\sum _{{i=1}}^{{\infty }}\xi _{{i}}^{{2}}=\left\|x\right\|^{{2}}<\infty$ $x(t)\v L_{{2}}\left(a,b\vpravo)$ $x\v l_{{2}}$ $l_{{2}}$ $x=\left\{\xi _{{1}},\xi _{{2}},...,\xi _{{n}},...\vpravo\}$ $x(t)\šipka doprava x$ ${\bar {y}}=\left\{\eta _{{1}},\eta _{{2}},...,\eta _{{n}},...\vpravo\}$ $l_{{2}}$ $L_{{2}}\left(a,b\right)$ $\sum _{{i=1}}^{{\infty }}\eta _{{i}}\varphi _{{i}}(t)$ $\left\{\varphi _{{i}}(t)\right\}$ $s_{{n}}(t)=\součet _{{i=1}}^{{n}}\eta _{{i}}\varphi _{{i}}(t)$ $\left\|s_{{n+p}}-s_{{n}}\right\|^{{2}}=\left\|\sum _{{i=n+1}}^{{n +p}}\eta _{{i}}\varphi _{{i}}(t)\right\|^{{2}}=\sum _{{i=n+1}}^{{n +p}}\eta _{{i}}^{{2}}\rightarrow 0$ $n \rightarrow \infty$ $p>0$ $\sum _{{i=1}}^{{\infty }}\eta _{{i}}^{{2}}$ $L_{{2}}\left(a,b\right)$ $\sum _{{i=1}}^{{\infty }}\eta _{{i}}\varphi _{{i}}(t)$ $\eta _{{i}}$ $y(t)\v L_{{2}}\left(a,b\vpravo)$ ${\bar {y}}$ ${\bar {y}}\rightarrow y(t)$ $L_{{2}}\left(a,b\right)$ $l_{{2}}$ $x(t)+y(t)=\součet _{{i=1}}^({\infty }}\xi _{{i}}\varphi _{{i}}(t)+\součet _ {{i=1}}^{{\infty }}\eta _{{i}}\varphi _{{i}}(t)=\sum _{{i=1}}^{{\infty } }\left(\xi _{{i}}+\eta _{{i}}\right)\varphi _{{i}}(t)$ $\lambda x(t)=\lambda \sum _{{i=1}}^({\infty }}\xi _{{i}}\varphi _{{i}}(t)=\součet _{ {i=1}}^{{\infty }}\lambda \xi _{{i}}\varphi _{{i}}(t)$ $x(t)\šipka doleva x,y(t)\šipka doleva y$ $x(t)+y(t)\šipka doleva doprava x+y,\lambda x(t)\šipka doleva \lambda x$ $x(t),y(t)\v L_{{2}}\left(a,b\vpravo)$ $\left\|x(t)-y(t)\right\|^{{2}}=\left\|\součet _{{i=1}}^{{\infty }}\left(\xi _{{i}}-\eta _{{i}}\right)\varphi _{{i}}(t)\right\|^{{2}}=\sum _{{i=1}} ^{{\infty }}\left(\xi _{{i}}-\eta _{{i}}\right)^{{2}}=\left\|xy\right\|^{{2 }}$ $L_{{2}}\left(a,b\right)$ $l_{{2}}$

Literatura

Sobolev VI Přednášky o dalších kapitolách matematické analýzy. - M.: Nauka, 1968 - s. 218.