Slutského teorém

Slutského teorém spojuje konvergenci v míře a slabou konvergenci náhodných veličin. Pojmenován po Evgeny Evgenyevich Slutsky .

Formulace

Nechť je dán pravděpodobnostní prostor a jsou náhodné proměnné . Pak kdyby $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $X_{n},Y_{m}:\Omega \to \mathbb {R} ,\,n,m\in \mathbb {N}$

X_{n}\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D))}X

kde je náhodná proměnná a $X:\Omega \to \mathbb {R}$

Y_{m}\to ^{\!\!\!\!\!\!\mathbb {P} }c

kde je tedy konstanta $c\in \mathbb {R}$

X_{n}+Y_{n}\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D))}X+c

X_{n}\cdot Y_{n}\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D))}c\cdot X

Nechť za předpokladů klasické věty existuje spojitá funkce . Pak $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$

f(X_{n},Y_{n})\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D))}f(X,c)