Hopf-Rinowova věta

Hopf-Rinowova věta je věta v diferenciální geometrii , kterou dokázal Heinz Hopf a jeho student Willy Rinov . Naposledy publikováno v roce 1931 [1] .

Formulace

Pro Riemannovu varietu připojenou k cestě jsou následující příkazy ekvivalentní: $M$

$M$ je kompletní (to znamená, že Riemannovská varieta je kompletní jako metrický prostor );
pro každý bod je exponenciální zobrazení definováno na všechno (kde je tečný prostor k bodu ); $p\in M$ $\exp _{p}:T_{p}\to M$ $T_{p}$ $T_{p}$ $M$ $p$
každá množina ohraničená a uzavřená je kompaktní . $M$

Jakékoli dva body a v lineárně připojené kompletní Riemannově varietě mohou být spojeny geodesickou délkou rovnající se vzdálenosti mezi a ; $p$ $q$ $p$ $q$
Jakákoli geodetická metoda v kompletním Riemannově potrubí propojeném s cestou může být prodloužena donekonečna.

Hopf-Rinowova věta platí pro prostory s vnitřní metrikou , ne nutně Riemannovou (například Finsler ) [2] : jestliže je lokálně kompaktní kompletní metrický prostor s vnitřní metrikou , pak je každá uzavřená ohraničená množina kompaktní. Zejména libovolné dva body v prostoru mohou být spojeny nejkratší cestou. [3] $(X,\rho)$ $(X,\rho)$ $X$
- Toto tvrzení bylo zobecněno na případ nesymetrických metrik. [čtyři]

Hopf-Rinowova věta neplatí v nekonečně-dimenzionálním případě [5] , stejně jako v případě pseudo-Riemannových variet [6] .

↑ Hopf, H.; Rinow, W. Ueber den Begriff der vollständigen Differentgeometrischen Fläche (německy) // [Commentarii Mathematici Helvetici : magazin. - 1931. - Bd. 3 , č. 1 . - S. 209-225 . - doi : 10.1007/BF01601813 .
↑ Menger, Karl. "Untersuchungen über allgemeine Metrik." Mathematische Annalen 100 (1925); 105 (1930).
↑ Burago D.Yu., Burago Yu.D., Ivanov S.V. Kurz metrické geometrie. - 2004. - ISBN 5-93972-300-4 . věta 2.5.28.
↑ Cohn-Vossen, Stefan. "Existenz Kurzester Wege." Compositio Mathematica 3 (1936): 441-452; přeloženo v Cohn-Vossen, S. E. "O existenci nejkratších cest." Některé otázky diferenciální geometrie obecně. Moskva: Fizmatgiz (1959): 288-303.
↑ Atkin, CJ (1975), Hopfova–Rinowova věta je v nekonečných dimenzích nepravdivá , The Bulletin of the London Mathematical Society vol. 7 (3): 261–266, doi : 10.1112/blms/7.3.261 , < http: //blms.oxfordjournals.org/cgi/reprint/7/3/261.pdf > .
↑ O'Neill, Barrett (1983), Semi-Riemannian Geometry With Applications to Relativity , sv. 103, Čistá a aplikovaná matematika, Academic Press, s. 193, ISBN 9780080570570 , < https://books.google.com/books?id=CGk1eRSjFIIC&pg=PA193 > Archivováno 14. května 2021 ve Wayback Machine .

Gromol D., Klingenberg W., Meyer W., Riemannovská geometrie obecně , přel. z němčiny, M., 1971;
Cohn-Vossen, Některé problémy v diferenciální geometrii obecně , Moskva, 1959.
V. A. Sharafutdinov. Přednášky. Kapitola 5: Riemannovy manifoldy